Transformacja Fouriera


Transformacja Fouriera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Transformacja Fourieraoperator liniowy określany na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których są funkcje n {\displaystyle n} zmiennych rzeczywistych. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.

Spis treści

Definicje podstawowe | edytuj kod

Transformatę Fouriera[1] można określić dla funkcji f L 1 ( R n ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} (gdzie L 1 ( R n ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ) wzorem:

f ^ ( ξ ) = R n f ( x )   e 2 π i ( x , ξ ) d x , {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\ e^{-2\pi i(x,\xi )}\,dx,}

gdzie i {\displaystyle i} jednostka urojona ( i 2 = 1 ) , {\displaystyle (i^{2}=-1),} a ( x , ξ ) {\displaystyle (x,\xi )} jest iloczynem skalarnym wektorów x , ξ R n . {\displaystyle x,\xi \in \mathbb {R} ^{n}.} Transformacja Fouriera jest też oznaczana przez F , {\displaystyle {\mathcal {F}},} wówczas transformata f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} jest oznaczana przez F f ( x ) ( ξ ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f(x)\right](\xi ).}

Transformata f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} jest funkcją istotnie ograniczoną: f ^ L ( R n ) {\displaystyle {\hat {f}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} (wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a).

W przypadku gdy funkcja f {\displaystyle f} jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli f L 1 ( R n ) L 2 ( R n ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} ), transformata f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:

F : L 1 ( R n ) L 2 ( R n ) L 2 ( R n ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).}

Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni L 2 ( R n ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} na siebie. W wielu praktycznych zastosowaniach w przypadku jednowymiarowym przedłużenie to jest równoważne obliczeniu wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej:

f ^ ( ξ ) = lim T + T T f ( x )   e 2 π i x ξ d x . {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}

Często przestrzeń L 1 ( R n ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} ogranicza się do przestrzeni funkcji szybko malejących w nieskończoności S ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})} – przestrzeni funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych, dla których iloczyn dowolnej pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} Ograniczona w ten sposób transformacja Fouriera jest również izometrią przestrzeni S ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})} na siebie.

W praktyce, często zmienna x {\displaystyle x} oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ {\displaystyle \xi } częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja f L 2 ( R 1 ) {\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{1})} może być zrekonstruowana z f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )} poprzez transformację odwrotną:

f ( x ) = lim T + T T f ^ ( ξ )   e 2 π i x ξ d ξ . {\displaystyle f(x)=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .}

Alternatywne definicje | edytuj kod

Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.

1. Transformacja z dziedziny czasu t {\displaystyle t} w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) ω : {\displaystyle \omega {:}}

f ^ ( ω ) = f ( t ) e i ω t d t {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}

i transformacja odwrotna:

f ( t ) = 1 2 π f ^ ( ω ) e i ω t d ω , {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega ,}

gdzie:

f ( t ) {\displaystyle f(t)} – funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu, f ^ ( ω ) {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )} transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji, ω = 2 π T = 2 π ν {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={2\pi }\nu } pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji ν . {\displaystyle \nu .}

2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu t {\displaystyle t} w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) ω : {\displaystyle \omega {:}}

f ^ ( ω ) = 1 2 π f ( t ) e i ω t d t {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}

i transformacja odwrotna:

f ( t ) = 1 2 π f ^ ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega .}

Komentarz | edytuj kod

  • Czynnik 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie – zamiast takiej postaci może występować czynnik 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}} przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną.
  • Jeżeli jednak czynnik wynosi 1 2 π , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},} wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni L 2 ( R ) . {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}
  • Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.

Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a | edytuj kod

 Osobny artykuł: Transformacja Laplace’a.

W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem e i x = cos x + i sin x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).

Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja ‘s’ (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem e s t {\displaystyle e^{-st}} w granicach od {\displaystyle -\infty } do , {\displaystyle \infty ,} gdzie s {\displaystyle s} jest liczbą zespoloną.

f ( t ) e s t d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}

Wyrażenie e s t {\displaystyle e^{-st}} ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty e t . {\displaystyle e^{-t}.} Transformacja ‘s’ uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji ‘s’. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla s = i ω . {\displaystyle s=i\omega .} Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.

Własności transformaty Fouriera | edytuj kod

  • W przypadku jednowymiarowym funkcja f {\displaystyle f} jest klasy L 1 , {\displaystyle L^{1},} czyli jest całkowalna w przedziale ( , ) . {\displaystyle (-\infty ,\infty ).}
  • f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} jest funkcją ciągłą. Nie musi natomiast być całkowalna w R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
  • Jeśli g ( x ) = f ( x α ) , {\displaystyle g(x)=f(x-\alpha ),} to g ^ ( ξ ) = g ( x )   e 2 π i x ξ d x = f ( x α )   e 2 π i ( x α ) ξ e 2 π i α ξ d x = e 2 π i α ξ f ( t )   e 2 π i t ξ d t = e 2 π i α ξ f ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\alpha )\ e^{-2\pi i(x-\alpha )\xi }e^{-2\pi i\alpha \xi }\,dx=e^{-2\pi i\alpha \xi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it\xi }\,dt=e^{-2\pi i\alpha \xi }{\hat {f}}(\xi ).}
  • Jeśli α 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} i g ( t ) = f ( t α ) , {\displaystyle g(t)=f\left({\frac {t}{\alpha }}\right),} to g ^ ( ξ ) = g ( x )   e 2 π i x ξ d x = f ( x α )   e 2 π i x α ( α ξ ) α d ( x α ) = α f ( t )   e 2 π i t ( α ξ ) d t = α f ^ ( α ξ ) . {\displaystyle {\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)\ e^{-2\pi i{\frac {x}{\alpha }}(\alpha \xi )}\alpha \,d\left({\frac {x}{\alpha }}\right)=\alpha \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it(\alpha \xi )}\,dt=\alpha {\hat {f}}(\alpha \xi ).}
  • f g ^ = 2 π f ^ g ^ , {\displaystyle {\widehat {f*g}}={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}{\hat {g}},} gdzie operacja {\displaystyle *} oznacza splot funkcji f i g
  • Jeśli pochodna funkcji f {\displaystyle f} należy do L 1 {\displaystyle L^{1}} i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że: f ^ ( ξ ) = f ( x ) e 2 π i x ξ d x = f ( x ) e 2 π i x ξ | + 2 π i ξ f ( x ) e 2 π i x ξ d x = 2 π i ξ f ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\hat {f'}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f'(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=f(x)e^{-2\pi ix\xi }{\Big |}_{-\infty }^{\infty }+2\pi i\xi \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi ).}

Właściwości transformat | edytuj kod

Najprzydatniejsze pary transformat | edytuj kod

W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności S ( R ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )} transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

Funkcje całkowalne z kwadratem | edytuj kod

W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji[2].

Dystrybucje | edytuj kod

Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej.

Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów | edytuj kod

 Osobny artykuł: Transmitancja widmowa.

Zależność określającą transmitancję widmową H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )} można wyznaczyć:

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie A w e , {\displaystyle A_{we},} pulsacji ω {\displaystyle \omega } i fazie p w e {\displaystyle p_{we}}

x ( t ) = A w e e j ( ω t + p w e ) , {\displaystyle x(t)=A_{we}e^{j(\omega t+p_{we})},}

(gdzie j {\displaystyle j} oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie A w y {\displaystyle A_{wy}} i fazie p w y : {\displaystyle p_{wy}{:}}

y ( t ) = A w y e j ( ω t + p w y ) . {\displaystyle y(t)=A_{wy}e^{j(\omega t+p_{wy})}.}

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość ω {\displaystyle \omega } pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )} opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości ω {\displaystyle \omega } ). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

A w y A w e = | H ( j ω ) | , {\displaystyle {\frac {A_{wy}}{A_{we}}}=|H(j\omega )|,}

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

p w y p w e = arg ( H ( j ω ) ) . {\displaystyle p_{wy}-p_{we}=\arg(H(j\omega )).}

Transmitancja H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )}

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie

y ( i ) u ( i ) = z k B ( z 1 ) A ( z 1 ) | z = e j ω T p = K ( e j ω T p ) {\displaystyle {\frac {y(i)}{u(i)}}=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}|_{z=e^{j\omega T_{p}}}=K(e^{-j\omega T_{p}})}

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe. PWN, 1993, s. 56–60. ISBN 83-01-10864-9.
  2. David W.D.W. Kammler David W.D.W., A First Course in Fourier Analysis, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-578782-3, OCLC 43118245 .

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (transformacja całkowa):
Na podstawie artykułu: "Transformacja Fouriera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy