Transformacja Z


Transformacja Z w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Tabela podstawowych transformacji Z.

Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Spis treści

Rys historyczny | edytuj kod

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagadnieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne, jako że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartleya itp.).

Nieco później E.I. Jury[1] wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja | edytuj kod

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu f ( t ) {\displaystyle f^{*}(t)} jest nazywana funkcja:

Z f ( t ) = Z f ( k T ) = F ( z ) {\displaystyle Z[f^{*}(t)]=Z[f(kT)]=F(z)}

określona wzorem:

F ( z ) = k = f ( k T ) z k , {\displaystyle F(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kT)z^{-k},}

gdzie: F ( z ) {\displaystyle F(z)} – transformata oryginału; f ( k T ) {\displaystyle f(kT)} – oryginał dyskretny; k = 1 , 2 , {\displaystyle k=1,2,\dots }

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza; np. dla funkcji f ( k ) = k ! {\displaystyle f(k)=k!} lub f ( k ) = e a k 2 ( a > 0 ) {\displaystyle f(k)=e^{ak^{2}}(a>0)} nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Własności | edytuj kod

Liniowość | edytuj kod

Z a f 1 ( k T ) + b f 2 ( k T ) = a F 1 ( z ) + b F 2 ( z ) . {\displaystyle Z[af_{1}(kT)+bf_{2}(kT)]=aF_{1}(z)+bF_{2}(z).}

Przesunięcie w dziedzinie czasu | edytuj kod

Z f ( k T + m T ) H ( k T ) = z m F ( z ) n = 0 m 1 f ( n T ) z n , {\displaystyle Z[f(kT+mT)\cdot H(kT)]=z^{m}\left[F(z)-\sum _{n=0}^{m-1}f(nT)z^{-n}\right],} gdzie m {\displaystyle m} – dowolna dodatnia liczba całkowita; H ( k T ) {\displaystyle H(kT)} funkcja skokowa.

Transformata sumy | edytuj kod

Z g ( k T ) = Z   n = k   f ( n T ) = z z 1 F ( z ) . {\displaystyle Z\left[g(kT)\right]=Z\left[\ \sum _{n=-\infty }^{k}\ f(nT)\right]={\frac {z}{z-1}}F(z).}

Transformata różnicy | edytuj kod

Z f ( ( k + 1 ) T ) f ( k T ) = ( z 1 ) F ( z ) z f ( 0 ) . {\displaystyle Z[f((k+1)T)-f(kT)]=(z-1)F(z)-zf(0).}

Splot | edytuj kod

Z f 1 ( n ) f 2 ( n ) = Z f 1 ( 0 ) f 2 ( n ) + + f 1 ( k ) f 2 ( n k ) + + f 1 ( n ) f 2 ( 0 ) = F 1 ( z ) F 2 ( z ) . {\displaystyle Z[f_{1}(n)*f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots +f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots +f_{1}(n)\cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z)\cdot F_{2}(z).}

Twierdzenie o wartości początkowej | edytuj kod

lim k 0 + f ( k T ) = lim z F ( z ) . {\displaystyle \lim _{k\to 0^{+}}f(kT)=\lim _{z\to \infty }F(z).}

Twierdzenie o wartości końcowej | edytuj kod

Jeśli istnieje granica, lim k f ( k T ) , {\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(kT),} to ma ona wartość: f = lim z 1 z 1 z F ( z ) . {\displaystyle f_{\infty }=\lim _{z\to 1}{\frac {z-1}{z}}F(z).}

Tabela transformat | edytuj kod

W poniższej tabeli przyjęto, że:

  • u ( n ) = { 1 , n 0 0 , n < 0 , {\displaystyle u(n)={\begin{cases}1,&n\geqslant 0\\0,&n<0\end{cases}},}
  • δ ( n ) = { 1 , n = 0 0 , n 0 . {\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}.}

Przykłady | edytuj kod

Przykład 1 | edytuj kod

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, δ ( n ) . {\displaystyle \delta (n).}

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

δ ( n ) = { 1 , n = 0 0 , n 0 . {\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}.}

Korzystając z definicji otrzymujemy:

Z δ ( n ) = + 0 z 2 + 0 z 1 + 1 z 0 + 0 z 1 + 0 z 2 + , {\displaystyle Z[\delta (n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+0\cdot z^{-1}+0\cdot z^{-2}+\dots ,}

stąd:

Z δ ( n ) = 1. {\displaystyle Z[\delta (n)]=1.}

Przykład 2 | edytuj kod

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu x ( n ) {\displaystyle x(n)} zdefiniowanego następująco:

x ( n ) = { 1 2 n , dla  n 0 0 , dla  n < 0 . {\displaystyle x(n)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n}}},&{\text{dla }}n\geqslant 0\\0,&{\text{dla }}n<0\end{cases}}.}

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg x ( n ) {\displaystyle x(n)} można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:

x ( n ) = u ( n ) ( 1 2 ) n . {\displaystyle x(n)=u(n)\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}.}

Zatem:

Z x ( n ) = + 0 z 2 + 0 z 1 + 1 z 0 + 1 2 z 1 + 1 4 z 2 + 1 8 z 3 + {\displaystyle Z[x(n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+{\frac {1}{2}}\cdot z^{-1}+{\frac {1}{4}}\cdot z^{-2}+{\frac {1}{8}}\cdot z^{-3}+\ldots } Z x ( n ) = n = 0 ( 1 2 z 1 ) n . {\displaystyle Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}z^{-1}\right)^{n}.}

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem q = 1 2 z 1 . {\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.} Szereg jest zbieżny gdy | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} co oznacza, że:

| z | > 1 2 . {\displaystyle |z|>{\frac {1}{2}}.}

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej z , {\displaystyle z,} nierówność | z | > 1 2 {\displaystyle |z|>{\tfrac {1}{2}}} jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu 1 2 . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.} Gdy | z | > 1 2 , {\displaystyle |z|>{\tfrac {1}{2}},} transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

Z x ( n ) = 1 1 q = 1 1 1 2 z 1 = z z 1 2 . {\displaystyle Z[x(n)]={\frac {1}{1-q}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}={\frac {z}{z-{\frac {1}{2}}}}.}

Przykład 3 | edytuj kod

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu x ( n ) = u ( n ) a n . {\displaystyle x(n)=u(n)a^{n}.}

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

Z x ( n ) = n = 0 a n z n = n = 0 ( a z 1 ) n . {\displaystyle Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{-n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left(az^{-1}\right)^{n}.}

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

| a z 1 | < 1 | z | > | a | . {\displaystyle \left|az^{-1}\right|<1\implies |z|>|a|.}

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej z , {\displaystyle z,} nierówność | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu | a | . {\displaystyle |a|.} Gdy | z | > | a | , {\displaystyle |z|>|a|,} transformata istnieje i jest równa:

Z x ( n ) = 1 1 a z 1 = z z a . {\displaystyle Z[x(n)]={\frac {1}{1-az^{-1}}}={\frac {z}{z-a}}.}

Przykład 4 | edytuj kod

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego u ( n ) . {\displaystyle u(n).}

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

u ( n ) = a n u ( n ) , {\displaystyle u(n)=a^{n}u(n),} gdzie a = 1 , {\displaystyle a=1,}

stąd:

Z u ( n ) = z z 1 . {\displaystyle Z[u(n)]={\frac {z}{z-1}}.}

Obszar zbieżności jest opisany nierównością | z | > 1. {\displaystyle |z|>1.}

Powiązanie z transformatą Fouriera | edytuj kod

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

X ( z ) {\displaystyle X(z)} dla z = e j ω {\displaystyle z=e^{j\omega }}

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Powiązanie z transformatą Laplace’a | edytuj kod

 Osobny artykuł: Metoda Tustina.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Eliahu Ibrahim Jury: Theory and Application of the z-Transform Method. John Wiley & Sons, 1964.

Bibliografia | edytuj kod

  • Jacek Wojciechowski, Sygnały i systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008.
  • Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
  • Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.
Transformaty
Na podstawie artykułu: "Transformacja Z" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy