Transformata Gelfanda


Transformata Gelfanda w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Transformata Gelfanda – dla danej przemiennej algebry Banacha A {\displaystyle A} przyporządkowanie

a a ^ , a A {\displaystyle a\mapsto {\hat {a}},\;\;\;a\in A}

dane wzorem

a ^ ( γ ) = γ ( a ) , {\displaystyle {\hat {a}}(\gamma )=\gamma (a),}

gdzie γ {\displaystyle \gamma } jest elementem zbioru Φ A , {\displaystyle \Phi _{A},} tj. γ {\displaystyle \gamma } należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry A {\displaystyle A} o wartościach w ciele liczb zespolonych[1]. W zbiorze Φ A {\displaystyle \Phi _{A}} wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór Φ A {\displaystyle \Phi _{A}} z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry A {\displaystyle A} ). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra A {\displaystyle A} ma jedynkę[2]. Otoczenia bazowe danego punktu γ 0 {\displaystyle \gamma _{0}} z przestrzeni Gelfanda są postaci

U F = { γ Φ A : | γ ( a ) γ 0 ( a ) | < 1 , a F } , {\displaystyle U_{F}=\{\gamma \in \Phi _{A}\colon |\gamma (a)-\gamma _{0}(a)|<1,\;a\in F\},}

gdzie F {\displaystyle F} jest skończonym podzbiorem A . {\displaystyle A.} Zbiór

A Γ = { a A : a ^ = 0 } {\displaystyle A_{\Gamma }=\{a\in A\colon \,{\hat {a}}=0\}}

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry A . {\displaystyle A.} Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry A {\displaystyle A} oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci a b b a , {\displaystyle ab-ba,} gdzie a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} są elementami algebry A . {\displaystyle A.}

Transformata Gelfanda

^ : A C ( Φ A ) {\displaystyle {\hat {\,\cdot \,}}\colon A\to C(\Phi _{A})}

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Przypisy | edytuj kod

  1. Zbiór ten jest kanonicznie tożsamy zbiorowi ideałów maksymalnych tej algebry. Każdemu homomorfizmowi wystarczy przyporządkować jego jądro Т. Гамелин (T. Gamelin): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973, s. 13–14. (ros.)
  2. Przestrzenie Gelfanda pewnych funkcyjnych algebr Banacha są homeomorficzne z przestrzeniami, na których te algebry Banacha są określone. Jeśli C ( X ) {\displaystyle C(X)} jest algebrą Banacha ciągłych funkcji zespolonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa X {\displaystyle X} z normą supremum, to jej przestrzeń Gelfanda jest homeomorficzna z X . {\displaystyle X.} Gamelin, op. cit., s. 16.

Bibliografia | edytuj kod

  • H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
  • Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303–318.
  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
  • Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.)
Na podstawie artykułu: "Transformata Gelfanda" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy