Trochoida


Trochoida w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Trochoida (gr. trochós – koło, eídos – kształt) – krzywa płaska zakreślona przez dowolnie obrany punkt P {\displaystyle P} stale związany z kołem O {\displaystyle O} toczącym się wzdłuż wewnętrznej lub zewnętrznej strony stałego (nie poruszającego się) okręgu bez poślizgu. Termin został wprowadzony do matematyki przez Gilles’a de Robervala.

Jeśli punkt P {\displaystyle P} pokrywa się ze środkiem toczącego się koła, wówczas poruszając się zakreśla okrąg. W pozostałych przypadkach tor ruchu P {\displaystyle P} to krzywa (trochoida).

Spis treści

Charakterystyka trochoid | edytuj kod

Wyróżnia się 6 typów trochoid, a ich nazwa zależy od dwóch czynników:

  1. Odległość punktu P {\displaystyle P} od środka toczącego się koła ( h > r , {\displaystyle h>r,} h = r , {\displaystyle h=r,} h < r {\displaystyle h<r} )
  2. Wzajemne położenie koła poruszającego się i koła stałego na płaszczyźnie. Istnieją dwie możliwości:
    1. jeśli toczące się koło znajduje się wewnątrz koła stałego, wówczas nazwy trochoid rozpoczynają się przedrostkiem hipo- (gr. hypó – pod, poniżej),
    2. jeśli porusza się ono wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego, nazwy mają przedrostek epi- (gr. epí – na, do).

Hipocykloida | edytuj kod

 Osobny artykuł: hipocykloida. Asteroida – szczególny przypadek hipocykloidy, taki że R/r = 4

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P {\displaystyle P} leży na obwodzie koła O {\displaystyle O} ( h = r ) , {\displaystyle (h=r),}
  • hoło O {\displaystyle O} toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
  • hipocykloida opisywana jest równaniami parametrycznymi:
x = ( R r ) cos ( t ) + r cos ( R r r t ) {\displaystyle x=(R-r)\cos(t)+r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)} y = ( R r ) sin ( t ) r sin ( R r r t ) . {\displaystyle y=(R-r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).}

Hipotrochoida | edytuj kod

 Osobny artykuł: hipotrochoida.

Wspólna nazwa hipocykloidy skróconej i hipocykloidy wydłużonej.

Uwaga
niektóre źródła[1] uznają pojęcie hipotrochoida za synonim hipocykloidy skróconej.

Hipocykloida skrócona | edytuj kod

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P {\displaystyle P} leży wewnątrz koła O {\displaystyle O} na jego promieniu ( h < r ) , {\displaystyle (h<r),}
  • koło O {\displaystyle O} toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
  • hipotrochoidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:
x = ( R r ) cos ( t ) + h cos ( R r r t ) {\displaystyle x=(R-r)\cos(t)+h\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)} y = ( R r ) sin ( t ) h sin ( R r r t ) . {\displaystyle y=(R-r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).}

Hipocykloida wydłużona | edytuj kod

Hipocykloida wydłużona

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P {\displaystyle P} leży na zewnątrz koła O {\displaystyle O} ( h > r ) , {\displaystyle (h>r),}
  • koło O {\displaystyle O} toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
  • hipocykloidę wydłużoną opisuje się tymi samymi równaniami parametrycznymi, co hipotrochoidę:
x = ( R r ) cos ( t ) + h cos ( R r r t ) {\displaystyle x=(R-r)\cos(t)+h\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)} y = ( R r ) sin ( t ) h sin ( R r r t ) . {\displaystyle y=(R-r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).}

Epicykloida | edytuj kod

 Osobny artykuł: epicykloida. Epicykloida dla R = 3, r = h = 1

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P {\displaystyle P} leży na obwodzie koła O {\displaystyle O} ( h = r ) , {\displaystyle (h=r),}
  • koło O {\displaystyle O} toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloidę opisuje się równaniami parametrycznymi:
x = ( R + r ) cos ( t ) r cos ( R + r r t ) {\displaystyle x=(R+r)\cos(t)-r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right)} y = ( R + r ) sin ( t ) r sin ( R + r r t ) . {\displaystyle y=(R+r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).}

Epitrochoida | edytuj kod

 Osobny artykuł: epitrochoida.

Wspólna nazwa epicykloidy skróconej i epicykloidy wydłużonej.

Uwaga
niektóre źródła uznają pojęcie epitrochoida za synonim epicykloidy skróconej.

Epicykloida skrócona | edytuj kod

Epicykloida skrócona dla R = 3, r = 1 oraz h = 1/2

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P {\displaystyle P} leży wewnątrz koła O {\displaystyle O} na jego promieniu ( h < r ) , {\displaystyle (h<r),}
  • koło O {\displaystyle O} toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloidę skróconą opisuje się równaniami parametrycznymi:
x = ( R + r ) cos ( t ) h cos ( R + r r t ) , {\displaystyle x=(R+r)\cos(t)-h\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right),} y = ( R + r ) sin ( t ) h sin ( R + r r t ) . {\displaystyle y=(R+r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).}

Epicykloida wydłużona | edytuj kod

  • punkt P {\displaystyle P} leży na zewnątrz koła O {\displaystyle O} ( h > r ) , {\displaystyle (h>r),}
  • koło O {\displaystyle O} toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloidę wydłużoną opisuje się równaniami:
x = ( R + r ) cos ( t ) h cos ( R + r r t ) {\displaystyle x=(R+r)\cos(t)-h\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right)} y = ( R + r ) sin ( t ) h sin ( R + r r t ) . {\displaystyle y=(R+r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).}

Krzywa otwarta | edytuj kod

  • Jeżeli stosunek R r {\displaystyle {\tfrac {R}{r}}} jest liczbą niewymierną, wykreśloną przez punkt P , {\displaystyle P,} krzywą nazywamy krzywą otwartą.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Hipotrochoida - Zapytaj.onet.pl, portalwiedzy.onet.pl [dostęp 2017-11-27]  (pol.).

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Trochoida" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy