Twierdzenie Baire’a


Twierdzenie Baire’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Baire’a – przeliczalna suma w przestrzeni zupełnej X , {\displaystyle X,} taka, że:

E = F 1 F 2 F k {\displaystyle E=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \cup F_{k}\cup \cdots }

domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym (a więc, m.in. nie może wypełniać całej przestrzeni).

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej X , d {\displaystyle \langle X,d\rangle } każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech A {\displaystyle A} będzie zbiorem I kategorii, czyli A = n A n {\displaystyle A=\bigcup \limits _{n}A_{n}} gdzie A n {\displaystyle A_{n}} jest nigdziegęsty dla dowolnego n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} Pokażemy, że A {\displaystyle A} jest brzegowy, czyli X A ¯ = X . {\displaystyle {\overline {X\backslash A}}=X.} Niech K 0 {\displaystyle K_{0}} będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że K 0 ( X A ) . {\displaystyle K_{0}\cap (X\backslash A)\neq \emptyset .} Skoro A 1 {\displaystyle A_{1}} jest nigdziegęsty, to istnieje kula K 1 K 0 , {\displaystyle K_{1}\subset K_{0},} że K 1 A 1 = . {\displaystyle K_{1}\cap A_{1}=\emptyset .} Możemy przyjąć, że K 1 {\displaystyle K_{1}} jest kulą domkniętą oraz δ ( K 1 ) < 1 {\displaystyle \delta (K_{1})<1} (gdzie δ {\displaystyle \delta } oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli K 1 {\displaystyle K_{1}} znajdziemy kulę domkniętą K 2 , {\displaystyle K_{2},} że K 2 A 2 = {\displaystyle K_{2}\cap A_{2}=\emptyset } i δ ( K 2 ) < 1 2 . {\displaystyle \delta (K_{2})<{\frac {1}{2}}.}

Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych { K } n {\displaystyle \{K\}_{n}} taki, że: dla dowolnego n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } mamy: K n A n = , {\displaystyle K_{n}\cap A_{n}=\emptyset ,} K n + 1 K n , {\displaystyle K_{n+1}\subset K_{n},} δ ( K n ) < 1 n . {\displaystyle \delta (K_{n})<{\frac {1}{n}}.} Z twierdzenia Cantora, mamy: n K n . {\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\neq \emptyset .} Zatem: n K n n ( X A n ) = X n A n = X A {\displaystyle \emptyset \neq \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset \bigcap \limits _{n}(X\backslash A_{n})=X\backslash \bigcup \limits _{n}A_{n}=X\backslash A} oraz: n K n K 0 {\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset K_{0}} więc: n K n K 0 ( X A ) . {\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset K_{0}\cap (X\backslash A)\neq \emptyset .}

Spis treści

Zastosowania | edytuj kod

Twierdzenie Baire’a ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, jak: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenie o wykresie domkniętym, twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Z twierdzenia Baire’a wynika także fakt, że każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych | edytuj kod

Stefan Banach użył twierdzenia Baire’a do dowodu istnienia funkcji ciągłych na odcinku [0,1], które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedziny[1]. Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest I kategorii, tj. jest topologicznie mały.

Dowód. Niech C 0 , 1 {\displaystyle C[0,1]} oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} z normą supremum. Ponadto niech dla wszelkich liczb naturalnych k 1 {\displaystyle k\geqslant 1} dany będzie zbiór

N k = { f C 0 , 1 : x 0 , 1   h 0   | f ( x + h ) f ( x ) h | k } . {\displaystyle N_{k}={\big \{}f\in C[0,1]\colon \,\exists {x\in [0,1]}\ \forall {h\neq 0}\ \left|{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right|\leqslant k{\big \}}.}

Zbiory N k {\displaystyle N_{k}} ( k {\displaystyle k} jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} będzie ciągiem funkcji ze zbioru N k {\displaystyle N_{k}} zbieżnym do pewnej funkcji f C 0 , 1 . {\displaystyle f\in C[0,1].} Niech x n {\displaystyle x_{n}} będzie punktem dla którego funkcja f n {\displaystyle f_{n}} spełnia warunek w definicji zbioru N k {\displaystyle N_{k}} oraz niech x 0 {\displaystyle x_{0}} będzie punktem skupienia ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} (punkt taki istnieje, co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} ). Wówczas funkcja graniczna f {\displaystyle f} spełnia warunek określający zbiór N k {\displaystyle N_{k}} w punkcie x 0 , {\displaystyle x_{0},} tj. f N k , {\displaystyle f\in N_{k},} co dowodzi domkniętości.

Niech A {\displaystyle A} będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresamiłamane). Zbiór ten jest gęsty w C 0 , 1 . {\displaystyle C[0,1].} Ponadto każdą funkcję ze zbioru A , {\displaystyle A,} można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru N k . {\displaystyle N_{k}.} Wynika stąd, iż

C 0 , 1 = A ¯ C 0 , 1 N k ¯ ( k N ) , {\displaystyle C[0,1]={\overline {A}}\subseteq {\overline {C[0,1]\setminus N_{k}}}\;\;(k\in \mathbb {N} ),}

co w szczególności implikuje, że każdy ze zbiorów N k {\displaystyle N_{k}} ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory N k {\displaystyle N_{k}} są brzegowe.

Każdy ze zbiorów N k {\displaystyle N_{k}} jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire’a wynika, że

k = 1 N k C 0 , 1 . {\displaystyle \bigcup _{k=1}^{\infty }N_{k}\neq C[0,1].}

Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru N k , {\displaystyle N_{k},} a zatem zbiór funkcji ciągłych na 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} które mają pochodną w choć jednym punkcie jest pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} bez pochodnych w żadnym punkcie. □

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. S. Banach, Über die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 3 (1931), s. 174–179.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Baire’a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy