Twierdzenie Banacha-Steinhausa


Twierdzenie Banacha-Steinhausa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sformułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus[1].

Spis treści

Jednakowa ciągłość | edytuj kod

Dalej X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę L {\displaystyle {\mathcal {L}}} przekształceń liniowych przestrzeni X {\displaystyle X} w przestrzeń Y {\displaystyle Y} nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera W Y {\displaystyle W\subseteq Y} istnieje takie otoczenie zera U X , {\displaystyle U\subseteq X,} że

Λ ( U ) W {\displaystyle \Lambda (U)\subseteq W}

dla każdego Λ L . {\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}.} W przypadku gdy X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} przestrzeniami unormowanymi, to rodzina L {\displaystyle {\mathcal {L}}} jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

( M > 0 ) ( Λ L ) ( Λ M ) . {\displaystyle (\exists M>0)(\forall \Lambda \in {\mathcal {L}})(\|\Lambda \|\leqslant M).}

Twierdzenie Banacha-Steinhausa | edytuj kod

Niech L {\displaystyle {\mathcal {L}}} będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni X {\displaystyle X} w przestrzeń Y . {\displaystyle Y.} Jeżeli zbiór

F = { x X : zbiór  { Λ x : Λ L }  jest ograniczony } {\displaystyle F=\{x\in X\colon {\mbox{zbiór }}\{\Lambda x\colon \Lambda \in {\mathcal {L}}\}{\mbox{ jest ograniczony}}\}}

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni X , {\displaystyle X,} to L {\displaystyle {\mathcal {L}}} jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór F {\displaystyle F} jest całą przestrzenią.

Wnioski | edytuj kod

  • Twierdzenie Baire’a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeżeli X {\displaystyle X} jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu x {\displaystyle x} przestrzeni X {\displaystyle X} zbiór { Λ x : Λ L } {\displaystyle \{\Lambda x\colon \Lambda \in {\mathcal {L}}\}} jest ograniczony, to L {\displaystyle {\mathcal {L}}} jest rodziną jednakowo ciągłą.
  • Jeżeli X {\displaystyle X} jest F-przestrzenią oraz { Λ n : n N } {\displaystyle \{\Lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}} jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni X {\displaystyle X} i o wartościach w przestrzeni Y , {\displaystyle Y,} który jest punktowo zbieżny do przekształcenia Λ , {\displaystyle \Lambda ,} to przekształcenie Λ : X Y {\displaystyle \Lambda \colon X\to Y} jest operatorem liniowym i ciągłym.
  • Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

Przypisy | edytuj kod

  1. Stefan Banach, Hugo Steinhaus. Sur le principe de la condensation de singularités. „Fundamenta Mathematicae”. 9, s. 50–61, 1927. 

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Banacha-Steinhausa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy