Twierdzenie Cantora o zupełności


Twierdzenie Cantora o zupełności w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Cantoratwierdzenie teorii przestrzeni metrycznych autorstwa Georga Cantora będące warunkiem koniecznym i dostatecznym zupełności danej przestrzeni metrycznej: każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma granicę (tj. niepuste przecięcie; zob. zbiory rozłączne)[1].

Dla przestrzeni metryzowalnych pokryciowa definicja zwartości jest równoważna następującej definicji za pomocą ciągów zbiorów: każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych[a] ma granicę (tj. niepuste przecięcie). Warunek Cantora jest słabszy niż przytoczona definicja, dlatego każda metryzowalna przestrzeń zwarta jest zupełna[b]. Powyższej obserwacji można również dowieść, powołując się na równoważną (dla przestrzeni metryzowalnych) powyższym definicjom definicję ciągową: z każdego ciągu punktów przestrzeni można wybrać podciąg zbieżny w tej przestrzeni; oraz wykorzystaną w dowodzie własność ciągów Cauchy’ego: punkt skupienia ciągu Cauchy’ego jest jego granicą.

Dowód | edytuj kod

 Zobacz też: ciąg zbiorówciąg Cauchy’ego.
Konieczność
Jeżeli F 1 F 2 {\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \dots } jest ciągiem zbiorów domkniętych przestrzeni metrycznej X , {\displaystyle X,} przy czym d i a m F n 0 {\displaystyle \mathrm {diam} \;F_{n}\to 0} oraz x n F n , {\displaystyle x_{n}\in F_{n},} to ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} jest ciągiem Cauchy’ego. Z zupełności X {\displaystyle X} wynika, że a n a X , {\displaystyle a_{n}\to a\in X,} a ponieważ a n c l F n = F n {\displaystyle a_{n}\in \mathrm {cl} \;F_{n}=F_{n}} dla n = 1 , 2 , {\displaystyle n=1,2,\dots } (z ich domkniętości), to a F n . {\displaystyle a\in \bigcap F_{n}\neq \varnothing .}
Dostateczność
Niech X {\displaystyle X} spełnia warunek Cantora, zaś ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} będzie ciągiem Cauchy’ego. Zbiory domknięte F n = c l { a m : m n } {\displaystyle F_{n}=\mathrm {cl} \;\{a_{m}\colon m\geqslant n\}} tworzą ciąg zstępujący, dla którego d i a m F n 0 , {\displaystyle \mathrm {diam} \;F_{n}\to 0,} zatem istnieje punkt a F n , {\displaystyle a\in \bigcap F_{n},} który jest punktem skupienia ( a n ) , {\displaystyle (a_{n}),} zatem a n a {\displaystyle a_{n}\to a} na mocy własności ciągu Cauchy’ego.

Uwagi | edytuj kod

  1. Założenie zstępowania ciągu niepustych zbiorów domkniętych można zastąpić własnością przecięć skończonych rodziny zbiorów domkniętych.
  2. Dla każdej metryki d {\displaystyle d} generującej topologię przestrzeni zwartej ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} przestrzeń metryczna ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} jest zupełna.

Przypisy | edytuj kod

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 146.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Cantora o zupełności" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy