Twierdzenie Caseya


Twierdzenie Caseya w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania t 12 t 34 + t 41 t 23 t 13 t 24 = 0 {\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{41}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0}

Twierdzenie Caseya – twierdzenie geometrii euklidesowej, będące uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza, nazwane na cześć irlandzkiego matematyka Johna Caseya[1].

Spis treści

Wypowiedź twierdzenia | edytuj kod

Animacja pokazująca, jak twierdzenie Caseya degeneruje się do twierdzenia Ptolemeusza Niech O {\displaystyle O} będzie okręgiem o promieniu R . {\displaystyle R.} Niech O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} będą (w tej kolejności) czterema okręgami zawierającymi się i stycznymi od wewnątrz do okręgu O . {\displaystyle O.} Oznaczmy przez t i j {\displaystyle t_{ij}} długość odcinka zawartego pomiędzy punktami styczności na stycznej zewnętrznej do okręgów O i , O j . {\displaystyle O_{i},O_{j}.} Wtedy zachodzi[1]:

Zauważmy, że gdy okręgi degenerują się do punktów, twierdzenie to przybiera postać twierdzenia Ptolemeusza.

Dowód | edytuj kod

Elementarny dowód tego twierdzenia pochodzi z pracy Zachariasa[2][3]. Oznaczmy promień okręgu O i {\displaystyle O_{i}} przez R i , {\displaystyle R_{i},} a jego punkt styczności z okręgiem O {\displaystyle O} przez K i . {\displaystyle K_{i}.} Środki okręgów będziemy oznaczali przez O {\displaystyle O} oraz O i . {\displaystyle O_{i}.} Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

Zależności pomiędzy odcinkami stycznymi wewnętrznymi (po lewej) oraz zewnętrznymi (po prawej) do okręgów O i , O j {\displaystyle O_{i},O_{j}}

Będziemy chcieli wyrazić prawą stronę tej równości przy użyciu punktów K i , K j , {\displaystyle K_{i},K_{j},} by móc zastosować twierdzenie Ptolemeusza. Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta O i O O j {\displaystyle O_{i}OO_{j}} wynika, że

Ponieważ okręgi O , O i {\displaystyle O,O_{i}} są do siebie styczne, zachodzi

O i O O j = K i O K j , {\displaystyle \angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j},}

a ponieważ są styczne wewnętrznie

O O i ¯ = R R i . {\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i}.}

Łatwo również zauważyć, że kąty K i C K j {\displaystyle \angle K_{i}CK_{j}} i K i O K j {\displaystyle \angle K_{i}OK_{j}} to, odpowiednio, kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku K i K j . {\displaystyle K_{i}K_{j}.} Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że

K i C K j = 2 K i O K j {\displaystyle \angle K_{i}CK_{j}=2\angle K_{i}OK_{j}}

Niech C {\displaystyle C} będzie punktem na okręgu O . {\displaystyle O.} Z twierdzenia sinusów w trójkącie K i C K j : {\displaystyle K_{i}CK_{j}{:}}

K i K j ¯ = 2 R sin K i C K j = 2 R sin K i O K j 2 {\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}

Zatem

cos K i O K j = 1 2 sin 2 K i O K j 2 = 1 2 ( K i K j ¯ 2 R ) 2 = 1 K i K j ¯ 2 2 R 2 {\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}

podstawiając je do wzoru (1b):

O i O j ¯ 2 = ( R R i ) 2 + ( R R j ) 2 2 ( R R i ) ( R R j ) ( 1 K i K j ¯ 2 2 R 2 ) {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)} O i O j ¯ 2 = ( R R i ) 2 + ( R R j ) 2 2 ( R R i ) ( R R j ) + ( R R i ) ( R R j ) K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} O i O j ¯ 2 = ( ( R R i ) ( R R j ) ) 2 + ( R R i ) ( R R j ) K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} O i O j ¯ 2 = ( R i R j ) 2 + ( R R i ) ( R R j ) K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}

Ostatecznie, długość której szukamy, to

Możemy teraz obliczyć ile wynosi lewa strona równania (1); wymnażając wartości t i j {\displaystyle t_{ij}} oraz używając oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do wpisanego czworokąta K 1 K 2 K 3 K 4 {\displaystyle K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}} otrzymujemy:

t 12 t 34 + t 14 t 23 = 1 R 2 R R 1 R R 2 R R 3 R R 4 ( K 1 K 2 ¯ K 3 K 4 ¯ + K 1 K 4 ¯ K 2 K 3 ¯ ) = 1 R 2 R R 1 R R 2 R R 3 R R 4 ( K 1 K 3 ¯ K 2 K 4 ¯ ) = t 13 t 24 , {\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[1ex]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[1ex]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[1ex]={}&t_{13}t_{24},\end{aligned}}}

co było do okazania.

Uogólnienia i uwagi | edytuj kod

Przypadek twierdzenia Caseya, gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a dwa zewnętrznie

Łatwo wyobrazić sobie przypadek, gdy nie wszystkie z czterech mniejszych okręgów są styczne wewnętrznie. Twierdzenie powyższe, z drobną modyfikacją, pozostaje prawdziwe dla okręgów stycznych zarówno wewnętrznie, jak i zewnętrznie[4]:

Jeśli O i , O j {\displaystyle O_{i},O_{j}} są oba styczne z tej samej strony O {\displaystyle O} (tj. oba zewnętrznie lub oba wewnętrznie), to t i j {\displaystyle t_{ij}} jest długością odcinka stycznej zewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności. Jeśli zaś O i , O j {\displaystyle O_{i},O_{j}} są styczne z różnych stron O {\displaystyle O} (jeden zewnętrznie, a drugi wewnętrznie), to t i j {\displaystyle t_{ij}} jest długością odcinka stycznej wewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

Tok dowodu podanego powyżej pozostaje taki sam, poza zmianą dwóch wielkości: jeśli okrąg O i {\displaystyle O_{i}} jest styczny zewnętrznie do O , {\displaystyle O,} to oczywiście

O O i ¯ = R + R i . {\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R+R_{i}.}

Oprócz tego, gdy O i , O j {\displaystyle O_{i},O_{j}} są styczne po przeciwnych stronach okręgu O {\displaystyle O} (ponownie załóżmy, że O i {\displaystyle O_{i}} jest styczny zewnętrznie, a O j {\displaystyle O_{j}} wewnętrznie), to długość odcinka t i j {\displaystyle t_{ij}} (1a) spełnia wtedy zależność

Przypadek twierdzenia Caseya, gdy jeden okręg jest styczny wewnętrznie, a trzy zewnętrznie t i j 2 = O i O j ¯ 2 ( R i + R j ) 2 , {\displaystyle t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}+R_{j})^{2},}

co po analogicznych przekształceniach daje

t i j = R + R i R R j K i K j ¯ R . {\displaystyle t_{ij}={\frac {{\sqrt {R+R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.}

Gdy z kolei oba okręgi O i , O j {\displaystyle O_{i},O_{j}} są styczne zewnętrznie, to odcinek styczny ponownie spełnia zależność (1a), a jego długość wynosi

t i j = R + R i R + R j K i K j ¯ R . {\displaystyle t_{ij}={\frac {{\sqrt {R+R_{i}}}\cdot {\sqrt {R+R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.}

Ostatecznie więc, dla dwóch okręgów O i , O j , {\displaystyle O_{i},O_{j},} stycznych, w tej kolejności, do O {\displaystyle O} w dowolny sposób zmodyfikowana długość odcinka t i j {\displaystyle t_{ij}} (1c) wynosi

t i j = R ± R i R ± R j K i K j ¯ R , {\displaystyle t_{ij}={\frac {{\sqrt {R\pm R_{i}}}\cdot {\sqrt {R\pm R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}},}

gdzie znak w wyrażeniach R ± R i {\displaystyle R\pm R_{i}} zależy od tego, czy okrąg O i {\displaystyle O_{i}} jest styczny wewnętrznie (-), czy zewnętrznie (+).

Twierdzenie odwrotne | edytuj kod

Należy również zauważyć, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Caseya jest prawdziwe. Jeśli zachodzi równość (1), to okręgi dane są styczne. Co więcej, prawdziwe jest mocniejsze twierdzenie[5][6]:

Niech dane będą cztery okręgi O 1 , O 2 , O 3 , O 4 . {\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}.} Dla pewnych odcinków stycznych (wewnętrznych lub zewnętrznych) t i j {\displaystyle t_{ij}} pomiędzy okręgami O i , O j {\displaystyle O_{i},O_{j}} zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi te są w tej kolejności styczne do pewnego okręgu O . {\displaystyle O.} Ponadto, rodzaj odcinków stycznych użytych w (3) określa jak okręgi te są styczne:
  • jeśli wszystkie odcinki styczne są zewnętrzne, to wszystkie okręgi O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} są styczne w ten sam sposób do O {\displaystyle O} (albo wszystkie wewnętrznie, albo wszystkie zewnętrznie),
  • jeśli odcinki styczne wychodzące z jednego z okręgów są innego rodzaju niż pozostałe trzy, to okrąg ten jest styczny w inny sposób, niż pozostałe trzy,
  • jeśli okręgi O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} można podzielić w pary tak, by odcinki styczne pomiędzy okręgami w każdej z par są odcinkami stycznymi zewnętrznymi, a pomiędzy okręgami różnych par – zewnętrznymi, to okręgi w parach są tak samo styczne do okręgu O . {\displaystyle O.}

Zastosowania | edytuj kod

Twierdzenie Caseya i twierdzenie doń odwrotne jest używane do dowodzenia wielu twierdzeń z geometrii euklidesowej. Najkrótszym znanym dowodem twierdzenia Feuerbacha jest użycie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Caseya[1][7]. Wykorzystanie twierdzenie Caseya znaleźć można również w jednej z japońskich zagadek rysunkowych sangaku z 1874 roku[8][9].

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c Casey 1866 ↓.
  2. Bottema 2008 ↓.
  3. Zacharias 1942 ↓.
  4. Johnson 1960 ↓, s. 124.
  5. Johnson 1960 ↓, s. 125–126.
  6. Pawłowski i Zakrzewska 2010 ↓.
  7. Shirali ↓.
  8. Rothman 1998 ↓.
  9. Dymek 2012 ↓.

Bibliografia | edytuj kod

  • O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
  • M. Zacharias. Der Caseysche Satz. „Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”. 52, s. 79–89, 1942. 
  • John Casey. „Math. Proc. R. Ir. Acad.”. 9. s. 396. 
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry). Nowy York: Dover, 1960.
  • Henryk Pawłowski, Joanna Zakrzewska: O pewnym uogólnieniu Twierdzenia Ptolemeusza. W: Matematyka. Poszukuję - odkrywam. Zeszyt 1. Kraków: Wydawnictwo Szkole Omega, 2010, s. 13–24.
  • Tony Rothman, Hidetoshi Fukagawa. Japanese temple geometry. „Scientific American”, s. 84–91, maj 1998. 
  • Anna Dymek. Japońska geometria świątynna. „Delta”, maj 2012. 
  • Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Caseya" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy