Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)


Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Cauchy’egotwierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli G {\displaystyle G} jest grupą skończoną i p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy G {\displaystyle G} (liczby elementów grupy G {\displaystyle G} ), to w G {\displaystyle G} istnieje element rzędu p . {\displaystyle p.} Oznacza to, że istnieje x G {\displaystyle x\in G} taki, że dla najmniejszego niezerowego p {\displaystyle p} zachodzi x p = e , {\displaystyle x^{p}=e,} gdzie e {\displaystyle e} jest elementem neutralnym.

Powyższe twierdzenie związane jest z twierdzeniem Lagrange’a, które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy G {\displaystyle G} dzieli rząd grupy G . {\displaystyle G.} Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej p , {\displaystyle p,} będącej dzielnikiem rzędu G , {\displaystyle G,} istnieje podgrupa grupy G , {\displaystyle G,} której rzędem jest p {\displaystyle p} i jest to grupa cykliczna.

Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez pierwsze twierdzenie Sylowa, które zakłada, że jeśli p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą, a p n {\displaystyle p^{n}} jest dzielnikiem rzędu grupy G , {\displaystyle G,} to G {\displaystyle G} ma podgrupę rzędu p n . {\displaystyle p^{n}.}

Spis treści

Twierdzenie i dowód | edytuj kod

Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez silną indukcję, przy użyciu równania klasy, niemniej w przypadku abelowym tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.

Twierdzenie: Niech G {\displaystyle G} będzie grupą skończoną, a p {\displaystyle p} liczbą pierwszą. Jeśli p {\displaystyle p} dzieli rząd grupy G , {\displaystyle G,} to G {\displaystyle G} ma element rzędu p . {\displaystyle p.}

Dowód 1 | edytuj kod

Na początku udowodnimy twierdzenie w przypadku szczególnym, gdzie G jest abelowa, a następnie zajmiemy się przypadkiem ogólnym. Oba przypadki udowodnimy przez indukcję względem n = | G | . {\displaystyle n=|G|.} Przypadek, gdzie n = p {\displaystyle n=p} jest trywialny, ponieważ dowolny element (nie neutralny) ma rząd p . {\displaystyle p.} Przypuśćmy najpierw, że G {\displaystyle G} jest abelowa. Weźmy dowolny element a , {\displaystyle a,} który generuje grupę cykliczną H . {\displaystyle H.} Jeśli p {\displaystyle p} dzieli | H | , {\displaystyle |H|,} to a | H | / p {\displaystyle a^{|H|/p}} jest elementem rzędu p . {\displaystyle p.} Jeśli p {\displaystyle p} nie dzieli | H | , {\displaystyle |H|,} to dzieli rząd G : H {\displaystyle [G:H]} grupy ilorazowej G / H , {\displaystyle G/H,} która z założenia indukcyjnego zawiera element rzędu p . {\displaystyle p.} Element ten jest warstwą x H {\displaystyle xH} dla x G . {\displaystyle x\in G.} Jeśli m {\displaystyle m} jest rzędem x G , {\displaystyle x\in G,} to x m = e {\displaystyle x^{m}=e} w G {\displaystyle G} daje, że ( x H ) m = e H {\displaystyle (xH)^{m}=eH} w G / H , {\displaystyle G/H,} więc p {\displaystyle p} dzieli m . {\displaystyle m.} Jak wcześniej, x m / p {\displaystyle x^{m/p}} jest elementem rzędu p {\displaystyle p} w G , {\displaystyle G,} co kończy dowód w przypadku abelowym.

Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech Z {\displaystyle Z} będzie centrum G , {\displaystyle G,} które jest podgrupą abelową. Jeśli p {\displaystyle p} dzieli | Z | , {\displaystyle |Z|,} to Z {\displaystyle Z} zawiera element rzędu p {\displaystyle p} w przypadku grup abelowych. Możemy założyć, że p {\displaystyle p} nie dzieli rzędu Z . {\displaystyle Z.} Ponieważ nie dzieli | G | , {\displaystyle |G|,} to równanie klasy pokazuje, że istnieje co najmniej jedna klasa sprzężoności niecentralnego elementu, której rozmiar nie jest podzielny przez p . {\displaystyle p.} Rozmiarem tym jest G : C G ( a ) , {\displaystyle [G:C_{G}(a)],} więc p {\displaystyle p} dzieli rząd centralizatora C G ( a ) {\displaystyle C_{G}(a)} elementu a {\displaystyle a} w G , {\displaystyle G,} który jest podgrupą właściwą, ponieważ a {\displaystyle a} nie jest centralny. Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu p , {\displaystyle p,} co kończy dowód.

Dowód 2 | edytuj kod

W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu p , {\displaystyle p,} gdzie p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są 1 {\displaystyle 1} i p {\displaystyle p} co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór X = { ( x 1 , , x p ) G p : x 1 x 2 x p = e } {\displaystyle X=\{(x_{1},\dots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\ldots x_{p}=e\}} skończonych ciągów z G {\displaystyle G} o długości p , {\displaystyle p,} których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych p {\displaystyle p} elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, ostatni element musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać także, że p 1 {\displaystyle p-1} elementy mogą być dowolnie wybrane. Zatem zbiór X {\displaystyle X} ma | G | p 1 {\displaystyle |G|^{p-1}} elementów, które są podzielne przez p . {\displaystyle p.}

Z faktu, że jeśli a b = e , {\displaystyle ab=e,} to także b a = e , {\displaystyle ba=e,} wynika, że każda cykliczna permutacja wyrazów elementu z X {\displaystyle X} daje element zbioru X . {\displaystyle X.} Można określić działanie w grupie cyklicznej C p {\displaystyle C_{p}} rzędu p {\displaystyle p} na X {\displaystyle X} przez cykliczne permutacje składników. Innymi słowy, w C p {\displaystyle C_{p}} wybrany generator przypisuje ( x 1 , x 2 , , x p ) ( x 2 , , x p , x 1 ) . {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\dots ,x_{p},x_{1}).}

W ramach tego działania orbity mogą mieć wielkość 1 {\displaystyle 1} lub p . {\displaystyle p.} Działo się tak dla uporządkowanego zbioru ( x , x , , x ) , {\displaystyle (x,x,\dots ,x),} dla którego x p = e . {\displaystyle x^{p}=e.} Zliczając elementy X {\displaystyle X} na orbitach i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających x p = e {\displaystyle x^{p}=e} jest podzielna przez p . {\displaystyle p.} Ale x = e {\displaystyle x=e} jest jednym z takich elementów, więc musi być co najmniej p 1 {\displaystyle p-1} innych rozwiązań dla x {\displaystyle x} i te rozwiązania są elementami rzędu p . {\displaystyle p.} To kończy dowód.

Zastosowania | edytuj kod

Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja p-grup skończonych, gdzie p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa G {\displaystyle G} jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd p k {\displaystyle p^{k}} dla dowolnej liczby naturalnej k {\displaystyle k} ) wtedy i tylko wtedy, gdy G {\displaystyle G} ma rząd p n {\displaystyle p^{n}} dla dowolnej liczby naturalnej n . {\displaystyle n.} Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy