Twierdzenie Diniego


Twierdzenie Diniego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Diniego – kryterium badania zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych funkcji rzeczywistych.

Twierdzenie | edytuj kod

Niech D R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} } będzie zbiorem zwartym (np. przedziałem domkniętym), f n , f : D R {\displaystyle f_{n},f\colon D\to \mathbb {R} } będą funkcjami ciągłymi i n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} Jeśli

  1. ciąg f n {\displaystyle f_{n}} jest monotoniczny,
  2. ciąg f n {\displaystyle f_{n}} jest punktowo zbieżny do f , {\displaystyle f,}

to jest jednostajnie zbieżny do f . {\displaystyle f.}

Uogólnienia | edytuj kod

  • Niech ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} będzie lokalnie zwartą przestrzenią metryczną. f n , f : X R , n N {\displaystyle f_{n},f\colon X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} } będą ciągłe. Jeśli ciąg f n {\displaystyle f_{n}} jest monotonicznie malejący i punktowo zbieżny do f , {\displaystyle f,} to jest niemal jednostajnie zbieżny do f . {\displaystyle f.}
  • Niech X {\displaystyle X} będzie zwartą przestrzenią topologiczną i niech f n {\displaystyle f_{n}} będzie monotonicznie rosnącym ciągiem funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, punktowo zbieżnym do ciągłej funkcji f : X R . {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} .} Wówczas ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do f . {\displaystyle f.}

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Diniego" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy