Twierdzenie Gaussa-Wantzela


Twierdzenie Gaussa-Wantzela w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n {\displaystyle n} -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli n {\displaystyle n} jest liczbą postaci 2 k p 1 p 2 p s , {\displaystyle 2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{s},} gdzie p 1 , p 2 , p s , {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots p_{s},} są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd (2019) znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F 0 = 3 , {\displaystyle F_{0}=3,} F 1 = 5 , {\displaystyle F_{1}=5,} F 2 = 17 , {\displaystyle F_{2}=17,} F 3 = 257 , {\displaystyle F_{3}=257,} F 4 = 65537 {\displaystyle F_{4}=65537} i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

W szczególności we wzorze może być s = 0 {\displaystyle s=0} (wielokąty o liczbie boków będącą potęgą dwójki są konstruowalne) lub k = 0 {\displaystyle k=0} (twierdzenie obejmuje także wielokąty o nieparzystej liczbie boków). Tak więc, konstruowalne są m.in. pięciokąt ( k = 0 ,   s = 1 ,   p 1 = F 1 ) {\displaystyle (k=0,\ s=1,\ p_{1}=F_{1})} i sześciokąt foremny ( k = 1 ,   s = 1 ,   p 1 = F 0 ) , {\displaystyle (k=1,\ s=1,\ p_{1}=F_{0}),} ale już nie siedmiokąt.

Spis treści

Historia | edytuj kod

W starożytności matematycy potrafili konstruować za pomocą cyrkla i linijki n {\displaystyle n} -kąty foremne dla n {\displaystyle n} postaci 2 k , 3 2 k , 5 2 k {\displaystyle 2^{k},3\cdot 2^{k},5\cdot 2^{k}} i 3 5 2 k . {\displaystyle 3\cdot 5\cdot 2^{k}.}

W roku 1796 Gauss skonstruował siedemnastokąt foremny[1], a w roku 1801 udowodnił, że warunek podany w twierdzeniu jest wystarczający dla przeprowadzenia konstrukcji. Przypuszczał też, że jest to warunek konieczny, jednak dowodu nie podał. W roku 1837 wykazał to Pierre Wantzel.

257-kąt foremny skonstruowano w 1832 roku. Sposób konstrukcji klasycznej 65537-kąta foremnego po raz pierwszy opublikował nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes w 1894. Sama konstrukcja zajmuje 200 stron, Hermes pracował nad nią przez 10 lat.

Związek z trójkątem Pascala | edytuj kod

Jedynymi znanymi konstruowalnymi wielokątami foremnymi o nieparzystej liczbie boków są te, których liczba boków jest dzielnikiem 2 32 1 = 3 5   17 257 65537 , {\displaystyle 2^{32}-1=3\cdot 5\cdot \ 17\cdot 257\cdot 65537,} tj. 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257,..., 4294967295 (z wyjątkiem 1). William Watkins zauważył, że liczby tego ciągu zapisane w systemie binarnym, znajdują się w pierwszych 32 wierszach trójkąta Pascala mod 2:

 1 = 1 3 = 11 5 = 101 15 = 1111 17 = 10001 51 = 110011 85 = 1010101 255 = 11111111 257 = 100000001 771 = 1100000011 1285 = 10100000101 3855 = 111100001111 4369 = 1000100010001 13107 = 11001100110011 21845 = 101010101010101 65535 = 1111111111111111 65537 = 10000000000000001 196611 = 110000000000000011 327685 = 1010000000000000101 983055 = 11110000000000001111 1114129 = 100010000000000010001 3342387 = 1100110000000000110011 5570645 = 10101010000000001010101 16711935 = 111111110000000011111111 16843009 = 1000000010000000100000001 50529027 = 11000000110000001100000011 84215045 = 101000001010000010100000101 252645135 = 1111000011110000111100001111 286331153 = 10001000100010001000100010001 858993459 = 110011001100110011001100110011 1431655765 = 1010101010101010101010101010101 4294967295 = 11111111111111111111111111111111 

Następny wiersz w tym ciągu, 4294967297, jest kolejną liczbą Fermata: F5 = 232 + 1. Ponieważ jednak nie jest ona liczbą pierwszą (4294967297 = 641 · 6700417), nie można skonstruować wielokąta foremnego o takiej liczbie boków.

Przypisy | edytuj kod

  1. Konstrukcja jest przedstawiona na stronie [1].

Bibliografia | edytuj kod

  • Witold Więsław: Matematyka i jej historia. Opole: Wydawnictwo NOWIK, 1997. ISBN 83-905456-7-5.
  • John H. Conway, Richard K. Guy: Księga liczb. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2366-X.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Gaussa-Wantzela" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy