Twierdzenie Hahna-Banacha


Twierdzenie Hahna-Banacha w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Spis treści

Twierdzenie | edytuj kod

Niech

(a) X {\displaystyle X} będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych (b) p : X R {\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} } będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn. p ( x + y ) p ( x ) + p ( y ) {\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)} dla wszystkich x , y X , {\displaystyle x,y\in X,} p ( α x ) = α p ( x ) {\displaystyle p(\alpha x)=\alpha p(x)} dla wszystkich α 0 , ) {\displaystyle \alpha \in [0,\infty )} i x X , {\displaystyle x\in X,} (c) M {\displaystyle M} będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni X {\displaystyle X} (d) φ : M R {\displaystyle \varphi \colon M\to {\mathbb {R} }} będzie takim odwzorowaniem liniowym, że φ ( x ) p ( x ) {\displaystyle \varphi (x)\leqslant p(x)} dla wszystkich x M . {\displaystyle x\in M.}

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy Φ : X R , {\displaystyle \Phi \colon X\to \mathbb {R} ,} że

Φ ( x ) = φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)=\varphi (x)}

dla wszystkich x M {\displaystyle x\in M} oraz

Φ ( x ) p ( x ) {\displaystyle \Phi (x)\leqslant p(x)}

dla wszelkich x X . {\displaystyle x\in X.}

Uwagi o dowodzie | edytuj kod

  • Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne).
  • Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego[1], więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
  • Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

Wnioski | edytuj kod

  • Jeżeli X {\displaystyle X} jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał p : X R {\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} } spełnia warunek (b), to dla każdego x 0 X {\displaystyle x_{0}\in X} istnieje taki funkcjonał liniowy f : X R , {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,} że f ( x 0 ) = p ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})=p(x_{0})} oraz f ( x ) p ( x ) {\displaystyle f(x)\leqslant p(x)} dla x X . {\displaystyle x\in X.}
  • Załóżmy, że
(a) X {\displaystyle X} jest przestrzenią liniową nad ciałem K {\displaystyle \mathbb {K} } liczb rzeczywistych lub zespolonych, a p : X 0 , ) {\displaystyle p\colon X\longrightarrow [0,\infty )} jest półnormą (b) M X {\displaystyle M\subseteq X} jest podprzestrzenią liniową, oraz φ 0 : M K {\displaystyle \varphi _{0}\colon M\to \mathbb {K} } jest funkcjonałem liniowym takim, że | φ 0 ( x ) | p ( x ) {\displaystyle |\varphi _{0}(x)|\leqslant p(x)} dla wszystkich x M . {\displaystyle x\in M.} Wówczas istnieje funkcjonał liniowy φ : X K {\displaystyle \varphi \colon X\to \mathbb {K} } taki, że φ | M = φ 0 {\displaystyle \varphi |_{M}=\varphi _{0}} oraz | φ ( x ) | p ( x ) {\displaystyle |\varphi (x)|\leqslant p(x)} dla wszystkich x X . {\displaystyle x\in X.}
  • Jeśli X {\displaystyle X} jest przestrzenią unormowaną, M {\displaystyle M} jest jej podprzestrzenią liniową oraz x M , {\displaystyle x^{*}\in M^{*},} to istnieje y X {\displaystyle y^{*}\in X^{*}} taki, że
y | M = x {\displaystyle y^{*}|_{M}=x^{*}} oraz x = y . {\displaystyle \|x^{*}\|=\|y^{*}\|.}
  • Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli X {\displaystyle X} jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz x X { 0 } , {\displaystyle x\in X\setminus \{0\},} to x = x x {\displaystyle \|x\|=x^{*}x} dla pewnego x X {\displaystyle x^{*}\in X^{*}} takiego, że x = 1. {\displaystyle \|x^{*}\|=1.} Ponadto
x = sup { | x x | : x X , x = 1 } . {\displaystyle \|x\|=\sup {\big \{}|x^{*}x|:x^{*}\in X^{*},\|x^{*}\|=1{\big \}}.}
  • Jeśli X {\displaystyle X} jest przestrzenią unormowaną, M {\displaystyle M} jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz x X M , {\displaystyle x\in X\setminus M,} to istnieje x X {\displaystyle x^{*}\in X^{*}} taki, że
x x = 1 , x | M 0 {\displaystyle x^{*}x=1,\;x^{*}|_{M}\equiv 0} oraz x = 1 d i s t ( x , M ) . {\displaystyle \|x^{*}\|={\tfrac {1}{\mathrm {dist} (x,M)}}.}

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha | edytuj kod

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Krejna | edytuj kod

Niech P {\displaystyle P} będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej X {\displaystyle X} o niepustym wnętrzu. Jeżeli M {\displaystyle M} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X {\displaystyle X} oraz φ 0 : M R {\displaystyle \varphi _{0}\colon M\to \mathbb {R} } jest funkcjonałem liniowym takim, że

φ 0 ( M P ) 0 , ) , {\displaystyle \varphi _{0}(M\cap P)\subseteq [0,\infty ),}

to istnieje funkcjonał liniowy φ : X R {\displaystyle \varphi \colon X\to \mathbb {R} } taki, że

φ | M = φ 0 {\displaystyle \varphi |_{M}=\varphi _{0}}

oraz

φ ( P ) 0 , ) . {\displaystyle \varphi (P)\subseteq [0,\infty ).}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991).

Bibliografia | edytuj kod

  • William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems, [1].
  • Mark Aronovich Naimark, Normed Rings, Wolters-Noordhoff, Groningen 1970, s. 63.
  • Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Hahna-Banacha" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy