Twierdzenie Hahna o rozkładzie


Twierdzenie Hahna o rozkładzie w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Hahna o rozkładzie – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące o możliwości rozbicia przestrzeni mierzalnej, na której określona jest przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka, Hansa Hahna.

Spis treści

Twierdzenie | edytuj kod

Jeśli A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru X {\displaystyle X} oraz λ : A R {\displaystyle \lambda \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} } jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to istnieje rozkład nazywany rozkładem Hahna dla funkcji λ , {\displaystyle \lambda ,} tzn. istnieją takie zbiory A , B {\displaystyle A,B} rozłączne, że

X = A B {\displaystyle X=A\cup B}

oraz, gdy E A {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}} to A E , B E A , {\displaystyle A\cap E,B\cap E\in {\mathcal {A}},} a ponadto

λ ( A E ) 0 , λ ( B E ) 0. {\displaystyle \lambda (A\cap E)\leqslant 0,\,\lambda (B\cap E)\geqslant 0.}

Kanoniczny rozkład Jordana | edytuj kod

Ważnym zastosowaniem istnienia rozkładu Hahna dla przeliczalnie addytywnych funkcji zbiorów jest tzw. twierdzenie o kanonicznym rozkładzie Jordana, mówiące o tym, że każda funkcja λ , {\displaystyle \lambda ,} taka jak w sformułowaniu twierdzenia o rozkładzie Hahna, daje się zapisać w postaci

λ = λ + λ , {\displaystyle \lambda =\lambda ^{+}-\lambda ^{-},}

gdzie funkcje λ + , λ , {\displaystyle \lambda ^{+},\lambda ^{-},} nazywane odpowiednio wahaniem górnym i dolnym funkcji λ , {\displaystyle \lambda ,} określone są wzorami:

λ + ( E ) = sup { λ ( F ) : F E , F A } , {\displaystyle \lambda ^{+}(E)=\sup\{\lambda (F)\colon F\subseteq E,F\in {\mathcal {A}}\},} λ ( E ) = sup { λ ( F ) : F E , F A } {\displaystyle \lambda ^{-}(E)=\sup\{-\lambda (F)\colon F\subseteq E,F\in {\mathcal {A}}\}}

dla E A . {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}.}

Funkcję | λ | {\displaystyle |\lambda |} daną wzorem

| λ | = λ + + λ {\displaystyle |\lambda |=\lambda ^{+}+\lambda ^{-}}

nazywamy wahaniem całkowitym funkcji λ . {\displaystyle \lambda .} Każde z wahań λ + , λ , | λ | {\displaystyle \lambda ^{+},\lambda ^{-},|\lambda |} jest miarą i przynajmniej jedno z wahań (górne lub dolne) jest miarą skończoną.

Jeżeli zbiory A , B X {\displaystyle A,B\subset X} tworzą rozkład Hahna zbioru X {\displaystyle X} względem λ , {\displaystyle \lambda ,} to dla każdego E A : {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}{:}}

λ + ( E ) = λ ( A E ) , {\displaystyle \lambda ^{+}(E)=\lambda (A\cap E),} λ ( E ) = λ ( B E ) . {\displaystyle \lambda ^{-}(E)=-\lambda (B\cap E).}

Jeśli λ {\displaystyle \lambda } jest funkcją skończoną (σ-skończoną), to każde z wahań jest miarą skończoną (σ-skończoną). Kanoniczny rozkład Jordana funkcji λ {\displaystyle \lambda } jest w pewnym sensie minimalny. Dokładniej, jeśli λ {\displaystyle \lambda } daje się przedstawić w postaci różnicy dwóch funkcji μ {\displaystyle \mu } i ν , {\displaystyle \nu ,} tzn. λ = μ ν {\displaystyle \lambda =\mu -\nu } dla pewnych μ {\displaystyle \mu } i ν , {\displaystyle \nu ,} to

λ + μ {\displaystyle \lambda ^{+}\leqslant \mu } oraz λ ν . {\displaystyle \lambda ^{-}\leqslant \nu .}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Hahna o rozkładzie" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy