Twierdzenie Krulla


Twierdzenie Krulla w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Krullatwierdzenie teorii pierścieni mówiące o istnieniu ideałów maksymalnych w dowolnym nietrywialnym pierścieniu z jedynką lub równoważnie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym danego nietrywialnego pierścienia z jedynką[1]. Twierdzenie to zostało sformułowane w 1929 roku przez Wolfganga Krulla i jest równoważne z aksjomatem wyboru (gdyż wykorzystuje równoważny z nim lemat Kuratowskiego-Zorna).

Poniższy dowód obowiązuje dla ideałów lewostronnych bądź w pierścieniach przemiennych dla ideałów obustronnych; obowiązuje on mutatis mutandis dla ideałów prawostronnych.

Dowód | edytuj kod

 Zobacz też: lemat Kuratowskiego-Zorna.

Niech I {\displaystyle {\mathcal {I}}} oznacza rodzinę wszystkich ideałów właściwych pierścienia R {\displaystyle R} zawierających ustalony ideał I , {\displaystyle I,} częściowo uporządkowaną relacją zawierania. Należy wykazać, że w niepustej rodzinie I {\displaystyle {\mathcal {I}}} (należy do niej I {\displaystyle I} ) istnieje element maksymalny – jest to szukany ideał maksymalny pierścienia R . {\displaystyle R.} Niech L {\displaystyle {\mathcal {L}}} będzie łańcuchem w I , {\displaystyle {\mathcal {I}},} wówczas jeśli I 1 , I 2 L , {\displaystyle I_{1},I_{2}\in {\mathcal {L}},} to I 1 I 2 {\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}} lub I 1 I 2 . {\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}.}

Wystarczy więc dowieść, że J = J {\displaystyle J=\bigcup {\mathcal {J}}} należy do I , {\displaystyle {\mathcal {I}},} a ponieważ I J , {\displaystyle I\subseteq J,} to pozostaje sprawdzić, że J {\displaystyle J} jest ideałem właściwym:

  • Otóż jeśli a , b J , {\displaystyle a,b\in J,} to istnieją ideały I 1 , I 2 L , {\displaystyle I_{1},I_{2}\in {\mathcal {L}},} dla których a I 1 {\displaystyle a\in I_{1}} i b I 2 . {\displaystyle b\in I_{2}.} Przyjmując dla ustalenia uwagi I 1 I 2 {\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}} otrzymuje się, iż a , b I 2 , {\displaystyle a,b\in I_{2},} skąd a + b I 2 , {\displaystyle a+b\in I_{2},} czyli a + b J {\displaystyle a+b\in J} (podobnie dla I 2 I 1 {\displaystyle I_{2}\subseteq I_{1}} ); ponadto jeśli r R {\displaystyle r\in R} oraz a J , {\displaystyle a\in J,} to istnieje wtedy taki ideał I 1 J , {\displaystyle I_{1}\in {\mathcal {J}},} że a I 1 , {\displaystyle a\in I_{1},} wtedy r a I 1 , {\displaystyle ra\in I_{1},} skąd r a J . {\displaystyle ra\in J.} Wynika stąd, że J {\displaystyle J} jest ideałem.
  • Ideał I {\displaystyle I} jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy 1 I {\displaystyle 1\notin I} (jeśli 1 I , {\displaystyle 1\in I,} to r 1 I {\displaystyle r1\in I} dla dowolnego r R {\displaystyle r\in R} oznacza, że I = R ; {\displaystyle I=R;} z drugiej strony jeżeli I = R , {\displaystyle I=R,} to 1 I {\displaystyle 1\in I} ). Skoro wszystkie ideały należące do J {\displaystyle {\mathcal {J}}} są właściwe, to żaden z nich nie zawiera jedynki, czyli również 1 J , {\displaystyle 1\notin J,} co oznacza, że J {\displaystyle J} także jest właściwy.

W ten sposób J I , {\displaystyle J\in {\mathcal {I}},} a ponieważ suma każdego łańcucha w I {\displaystyle {\mathcal {I}}} należy do I , {\displaystyle {\mathcal {I}},} to z wniosku do lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w rodzinie I {\displaystyle {\mathcal {I}}} istnieje element (ideał) maksymalny.

Przypisy | edytuj kod

  1. Pierwsze sformułowanie wynika z drugiego poprzez przyjęcie ideału trywialnego.

Bibliografia | edytuj kod

  • W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, „Mathematische Annalen10 (1929), s. 729–744.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Krulla" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy