Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a.

Spis treści

Twierdzenie Lagrange’a | edytuj kod

Jeśli dana funkcja f : a , b → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } jest

to istnieje taki punkt c ∈ ( a , b ) , {\displaystyle c\in (a,b),} że:

f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) . {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c).}

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

Interpretacja geometryczna | edytuj kod

Geometrycznie twierdzenie Lagrange’a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu ( a , f ( a ) ) {\displaystyle \left(a,f(a)\right)} do punktu ( b , f ( b ) ) , {\displaystyle \left(b,f(b)\right),} istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami ( a , f ( a ) ) {\displaystyle \left(a,f(a)\right)} i ( b , f ( b ) ) . {\displaystyle \left(b,f(b)\right).}

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie ( c , f ( c ) ) {\displaystyle \left(c,f(c)\right)} wynosi f ′ ( c ) . {\displaystyle f'(c).} Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy:

f ( b ) − f ( a ) b − a . {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}

Wartość średnia | edytuj kod

Twierdzenie Lagrange’a zapisane w postaci

f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( b − a ) {\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)}

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów b {\displaystyle b} i a {\displaystyle a} wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

Dowód | edytuj kod

Kładziemy:

K = f ( b ) − f ( a ) b − a , {\displaystyle K={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}},} g ( x ) = f ( x ) − K ( x − a ) . {\displaystyle g(x)=f(x)-K(x-a).}

Mamy wtedy:

g ( a ) = f ( a ) − K ( a − a ) = f ( a ) {\displaystyle g(a)=f(a)-K(a-a)=f(a)}

oraz

g ( b ) = f ( b ) − K ( b − a ) = f ( b ) − f ( b ) + f ( a ) = f ( a ) . {\displaystyle g(b)=f(b)-K(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a).}

A więc:

g ( a ) = g ( b ) , {\displaystyle g(a)=g(b),} czyli funkcja g ( x ) {\displaystyle g(x)} spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} taki, że g ′ ( c ) = 0 , {\displaystyle g'(c)=0,} z drugiej strony mamy g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − K {\displaystyle g'(x)=f'(x)-K} i stąd otrzymujemy 0 = g ′ ( c ) = f ′ ( c ) − K . {\displaystyle 0=g'(c)=f'(c)-K.} Dlatego też f ′ ( c ) = K = f ( b ) − f ( a ) b − a . {\displaystyle f'(c)=K={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}

Uogólnienie | edytuj kod

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dla n > 1 {\displaystyle n>1} ) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji R → R 2 {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}} ) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

‖ f ( b ) − f ( a ) ‖ ≤ | b − a | ⋅ sup t ∈ ( a , b ) ‖ f ′ ( t ) ‖ . {\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq |b-a|\cdot \sup \limits _{t\in (a,b)}\|f'(t)\|.}

Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy a + ϵ {\displaystyle a+\epsilon } w miejscu a {\displaystyle a} i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest b . {\displaystyle b.} Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z ϵ {\displaystyle \epsilon } do zera daje, dzięki ciągłości funkcji f {\displaystyle f} tezę.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy