Twierdzenie Menelaosa


Twierdzenie Menelaosa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już wcześniej. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Spis treści

Treść | edytuj kod

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta A B C {\displaystyle \triangle ABC} i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty D , E , F {\displaystyle D,E,F} w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli

| A E | | C D | | B F | = | B D | | A F | | C E | . {\displaystyle |AE|\cdot |CD|\cdot |BF|=|BD|\cdot |AF|\cdot |CE|.}

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

A E C D B F A {\displaystyle A\to E\to C\to D\to B\to F\to A} skrótowo zapisywane zwykle jako A E C D B F A , {\displaystyle ^{A}{}_{E}{}^{C}{}_{D}{}^{B}{}_{F}{}^{A},}

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

| A E | | E C | | C D | | D B | | B F | | F A | = 1. {\displaystyle {\frac {|AE|}{|EC|}}\cdot {\frac {|CD|}{|DB|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FA|}}=1.}

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

Dowód | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przecięciem prostej równoległej do A C {\displaystyle AC} przechodzącej przez punkt B {\displaystyle B} z poprzeczną. Trójkąty X B F {\displaystyle \triangle XBF} i E A F {\displaystyle \triangle EAF} są podobne. Z twierdzenia Talesa:

| B X | | A E | = | B F | | F A | , {\displaystyle {\frac {|BX|}{|AE|}}={\frac {|BF|}{|FA|}},} czyli | X B | = | B F | | F A | | A E | {\displaystyle |XB|={\frac {|BF|}{|FA|}}\cdot |AE|}

Trójkąty C E D {\displaystyle \triangle CED} i B X D {\displaystyle \triangle BXD} są podobne. Zatem jest:

| C E | | X B | = | D C | | D B | , {\displaystyle {\frac {|CE|}{|XB|}}={\frac {|DC|}{|DB|}},} czyli 1 | X B | = | D C | | D B | 1 | C E | {\displaystyle {\frac {1}{|XB|}}={\frac {|DC|}{|DB|}}\cdot {\frac {1}{|CE|}}}

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

1 = | B F | | F A | | D C | | D B | | A E | | C E | , {\displaystyle 1={\frac {|BF|}{|FA|}}\cdot {\frac {|DC|}{|DB|}}\cdot {\frac {|AE|}{|CE|}},}

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty D , E , F {\displaystyle D,E,F} leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

Twierdzenie odwrotne | edytuj kod

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach A B {\displaystyle AB} i B C {\displaystyle BC} trójkąta A B C {\displaystyle \triangle ABC} dane są punkty E {\displaystyle E} i D , {\displaystyle D,} a na przedłużeniu boku A C {\displaystyle AC} punkt F {\displaystyle F} tak, że: | A E | | C D | | B F | = | B D | | A F | | C E | , {\displaystyle |AE|\cdot |CD|\cdot |BF|=|BD|\cdot |AF|\cdot |CE|,} to punkty D , E , F {\displaystyle D,E,F} współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty D , E , F {\displaystyle D,E,F} leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

Dowód | edytuj kod

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

| A E | | C D | | B F | = | B D | | A F | | C E | {\displaystyle |AE|\cdot |CD|\cdot |BF|=|BD|\cdot |AF|\cdot |CE|} (1)

oraz D , E {\displaystyle D,E} leżą na bokach trójkąta, zaś F {\displaystyle F} na prostej A B {\displaystyle AB} poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt F F , {\displaystyle F'\neq F,} że D , E , F {\displaystyle D,E,F'} są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

| A E | | C D | | B F | = | B D | | A F | | C E | . {\displaystyle |AE|\cdot |CD|\cdot |BF'|=|BD|\cdot |AF'|\cdot |CE|.}

Zatem dla dwóch różnych punktów F , F {\displaystyle F,F'} leżących na prostej A B {\displaystyle AB} poza odcinkiem A B {\displaystyle AB} zachodzi

| A F | | B F | = | A F | | B F | , {\displaystyle {\frac {|AF'|}{|BF'|}}={\frac {|AF|}{|BF|}},}

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty D , E , F {\displaystyle D,E,F} spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

Twierdzenie Menelaosa dla czworościanu[1] | edytuj kod

Niech A , B , C , D {\displaystyle A',B',C',D'} oznaczają punkty przecięcia pewnej płaszczyzny z krawędziami czworościanu A B C D {\displaystyle ABCD} leżące odpowiednio na odcinkach A B , B C , C D , D A . {\displaystyle AB,BC,CD,DA.} Wówczas zachodzi równość:

A A A B B B B C C C C D D D D A = 1 {\displaystyle {\frac {AA'}{A'B}}{\frac {BB'}{B'C}}{\frac {CC'}{C'D}}{\frac {DD'}{D'A}}=1}

Dowód polega na zrzutowaniu wierzchołków czworościanu na przecinającą go płaszczyznę, skorzystania z podobieństwa par trójkątów prostokątnych złożonych z wierzchołków leżących na danej krawędzi, ich rzutów i punktu przecięcia krawędzi i płaszczyzny, a następnie pomnożenia uzyskanych równości tak by po jednej stronie uzyskać wyrażenie z tezy.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

A A A B B B B C C C C D D D D A = 1 , {\displaystyle {\frac {AA'}{A'B}}{\frac {BB'}{B'C}}{\frac {CC'}{C'D}}{\frac {DD'}{D'A}}=1,}

to punkty A , B , C , D {\displaystyle A',B',C',D'} leżą na jednej płaszczyźnie, jest również prawdziwe.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Menelaosa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy