Twierdzenie Picarda


Twierdzenie Picarda w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.

Spis treści

Twierdzenie | edytuj kod

Załóżmy, że Ω R × R {\displaystyle \Omega \subseteq {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }} jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja f : Ω R {\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }} jest ciągła na zbiorze Ω {\displaystyle \Omega } i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. Tak więc, dla pewnej stałej L {\displaystyle L} mamy, że

| f ( x , y 1 ) f ( x , y 2 ) | L | y 1 y 2 | {\displaystyle |f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leqslant L|y_{1}-y_{2}|}

ilekroć ( x , y 1 ) , ( x , y 2 ) Ω . {\displaystyle (x,y_{1}),(x,y_{2})\in \Omega .}

Niech ( x 0 , y 0 ) Ω . {\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \Omega .} Wówczas dla pewnego δ > 0 , {\displaystyle \delta >0,} zagadnienie początkowe

y = f ( x , y ) {\displaystyle y'=f(x,y)} y ( x 0 ) = y 0 {\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}

ma dokładnie jedno rozwiązanie y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi (x)} określone na przedziale ( x 0 δ , x 0 + δ ) . {\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).}

Uogólnienie na przestrzenie Banacha | edytuj kod

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Lokalny warunek Lipschitza | edytuj kod

Niech Y {\displaystyle Y} będzie przestrzenią unormowaną oraz D R × Y {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \times Y} będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja f : D Y {\displaystyle f\colon D\to Y} spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze D {\displaystyle D} wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ( x 0 , u 0 ) D {\displaystyle (x_{0},u_{0})\in D} ma otoczenie, na którym f {\displaystyle f} spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

Twierdzenie Picarda | edytuj kod

Niech Y {\displaystyle Y} będzie przestrzenią Banacha oraz D R × Y {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \times Y} będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja f : D Y {\displaystyle f\colon D\to Y} jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze D , {\displaystyle D,} to

  • każde rozwiązanie równania u = f ( x , u ) {\displaystyle u'=f(x,u)} daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
  • każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
  • dla każdego punktu ( x 0 , u 0 ) D {\displaystyle (x_{0},u_{0})\in D} istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy u ( x 0 ) = u 0 . {\displaystyle u(x_{0})=u_{0}.}

Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań | edytuj kod

Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego[1]. Poza faktem istnienia oraz jedyności rozwiązania opisuje ono również jego zachowanie.

Twierdzenie | edytuj kod

Niech J R {\displaystyle J\subseteq {\mathbb {R} }} będzie odcinkiem otwartym, zaś Ω R n {\displaystyle \Omega \subseteq {\mathbb {R} }^{n}} będą zbiorami otwartymi. Niech f : J × Ω R n {\displaystyle f\colon J\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}} będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego ( t 0 , x 0 ) J × Ω {\displaystyle (t_{0},x_{0})\in J\times \Omega } istnieją zbiory otwarte U J {\displaystyle U\subseteq J} i V Ω {\displaystyle V\subseteq \Omega } takie, że:

U cl   ( U ) J {\displaystyle U\subseteq {\text{cl}}\ (U)\subseteq J} i V cl   ( V ) Ω , {\displaystyle V\subseteq {\text{cl}}\ (V)\subseteq \Omega ,} ( t 0 , x 0 ) U × V , {\displaystyle (t_{0},x_{0})\in U\times V,} L > 0   t U   x , y V   f ( t , x ) f ( t , y ) L x y . {\displaystyle \exists L>0\ \forall t\in U\ \forall x,y\in V\ \|f(t,x)-f(t,y)\|\leqslant L\|x-y\|.}

Wówczas dla każdego ( t 0 , x 0 ) J × Ω {\displaystyle (t_{0},x_{0})\in J\times \Omega } istnieje dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie u : I Ω {\displaystyle u\colon I\to \Omega } zagadnienia Cauchy’ego:

{ x ( t ) = f ( t , x ( t ) ) , x ( t 0 ) = x 0 . {\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t)),\\x(t_{0})=x_{0}.\end{cases}}}

Ponadto maksymalny odcinek I = ( a , b ) {\displaystyle I=(a,b)} istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

inf J = a {\displaystyle \inf J=a}   i   sup J = b {\displaystyle \sup J=b}

lub

jeśli   a > inf J , {\displaystyle a>\inf J,}   to   lim t a min { dist ( u ( t ) , Ω ) , u ( t ) 1 } = 0 , {\displaystyle \lim _{t\to a}\min \left\{\operatorname {dist} \left(u(t),\partial \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0,} jeśli   b < sup J , {\displaystyle b<\sup J,}   to   lim t b min { dist ( u ( t ) , Ω ) , u ( t ) 1 } = 0. {\displaystyle \lim _{t\to b}\min \left\{\operatorname {dist} \left(u(t),\partial \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Wydawnictwo NaukoweW.N. PWN Wydawnictwo NaukoweW.N., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem programu rachunków symbolicznych, wyd. Wyd. 2 - 1 dodr. (PWN), Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, [cop. 2017], ISBN 978-83-01-19591-5, OCLC 1020470973 .

Bibliografia | edytuj kod

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979, s. 193–196.
  • Krzysztof Frączek: Równania różniczkowe (pol.). [dostęp 2013-03-30].

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Picarda" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy