Twierdzenie Ptolemeusza


Twierdzenie Ptolemeusza w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie w geometrii klasycznej opisujące zależność pomiędzy bokami a przekątnymi czworokąta wpisanego w okrąg. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi; pojawia się ono w jego dziele zatytułowanym „Almagest[1].

Twierdzenie | edytuj kod

W dowolnym czworokącie A B C D {\displaystyle ABCD} wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków[2][3]:

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:

Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Dowody | edytuj kod

Dowód geometryczny | edytuj kod

Niech dany będzie czworokąt A B C D {\displaystyle ABCD} wpisany w okrąg oraz punkt K {\displaystyle K} leżący na przekątnej A C {\displaystyle AC} tak, by półprosta B K {\displaystyle BK} przecinała przekątną A C {\displaystyle AC} przy zachowaniu równości kątów A B D = K B C . {\displaystyle \sphericalangle ABD=\sphericalangle KBC.} Wówczas otrzymuje się trójkąty A B D {\displaystyle \triangle ABD} i K B C . {\displaystyle \triangle KBC.}

Z konstrukcji wynika, że A B D = K B C {\displaystyle \sphericalangle ABD=\sphericalangle KBC} oraz A D B = K C B , {\displaystyle \sphericalangle ADB=\sphericalangle KCB,} ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty A B D {\displaystyle \triangle ABD} i K B C {\displaystyle \triangle KBC} są więc podobne, dzięki czemu

| K C | : | A D | = | B C | : | B D | , {\displaystyle |KC|:|AD|=|BC|:|BD|,}

skąd

Trójkąty A B K {\displaystyle \triangle ABK} i D B C {\displaystyle \triangle DBC} są podobne, gdyż mają równe kąty A B K {\displaystyle \sphericalangle ABK} i D B C {\displaystyle \sphericalangle DBC} oraz kąty B A C {\displaystyle \sphericalangle BAC} i B D C {\displaystyle \sphericalangle BDC} (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:

| A K | : | D C | = | A B | : | B D | , {\displaystyle |AK|:|DC|=|AB|:|BD|,}

a zatem

Po zsumowaniu stronami równości (2) oraz (3) otrzymuje się

| A K | | B D | + | K C | | B D | = | A B | | D C | + | A D | | B C | , {\displaystyle |AK|\cdot |BD|+|KC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|,}

co w konsekwencji daje

( | A K | + | K C | ) | B D | = | A B | | D C | + | A D | | B C | {\displaystyle (|AK|+|KC|)\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|}

i ostatecznie

| A C | | B D | = | A B | | D C | + | A D | | B C | , {\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|,}

co należało wykazać.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie[3][4]. Niech w czworokącie A B C D {\displaystyle ABCD} zachodzi (1). Należy znaleźć taki punkt K , {\displaystyle K,} który spełnia warunki

A B K = D B C {\displaystyle \sphericalangle ABK=\sphericalangle DBC} oraz B A K = B D C . {\displaystyle \sphericalangle BAK=\sphericalangle BDC.}

Mając go można wnioskować o podobieństwie trójkątów D B C {\displaystyle \triangle DBC} oraz A B K , {\displaystyle \triangle ABK,} przy czym

| A B | | D B | = | B K | | B C | = | A K | | C D | . {\displaystyle {\frac {|AB|}{|DB|}}={\frac {|BK|}{|BC|}}={\frac {|AK|}{|CD|}}.}

Z drugiej strony, ponieważ A B K = D B C {\displaystyle \sphericalangle ABK=\sphericalangle DBC} oraz

| A B | | D B | = | B K | | B C | , {\displaystyle {\frac {|AB|}{|DB|}}={\frac {|BK|}{|BC|}},}

trójkąty A B D {\displaystyle \triangle ABD} i K B C {\displaystyle \triangle KBC} są podobne.

Stąd zachodzą (2) oraz (3), dając

( | A K | + | K C | ) | B D | = | A B | | D C | + | A D | | B C | . {\displaystyle (|AK|+|KC|)\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|.}

Z założenia wynika jednak, że ( | A K | + | K C | ) = | A C | , {\displaystyle (|AK|+|KC|)=|AC|,} co oznacza, że punkt K {\displaystyle K} leży na odcinku | A C | . {\displaystyle |AC|.} Ale wtedy

B A K = B A C = B D C , {\displaystyle \sphericalangle BAK=\sphericalangle BAC=\sphericalangle BDC,}

czyli wierzchołki A {\displaystyle A} i D {\displaystyle D} leżą na tym samym okręgu, co B {\displaystyle B} i C . {\displaystyle C.}

Dowód trygonometryczny | edytuj kod

Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Dowolny inny przypadek można sprowadzić do niego poprzez odpowiednie przekształcenia: przesunięcie równoległe i jednokładność (ogólnie: podobieństwo). Dzięki tej obserwacji możliwe jest przedstawienie każdego z wierzchołków P 1 , P 2 , P 3 , P 4 {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}} czworokąta jako

P i = ( cos α i , sin α i ) ,  gdzie  α i 0 , 2 π ) , {\displaystyle P_{i}=(\cos \alpha _{i},\sin \alpha _{i}),{\text{ gdzie }}\alpha _{i}\in [0,2\pi ),}

przy czym α i {\displaystyle \alpha _{i}} oznacza kąt pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem P i . {\displaystyle P_{i}.} Można również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, tzn. jest

α 1 < α 2 < α 3 < α 4 . {\displaystyle \alpha _{1}<\alpha _{2}<\alpha _{3}<\alpha _{4}.}

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych x = ( cos α , sin α ) {\displaystyle x=(\cos \alpha ,\sin \alpha )} i y = ( cos β , sin β ) , {\displaystyle y=(\cos \beta ,\sin \beta ),} to ich odległość euklidesowa

x y = 2 2 cos ( | α β | ) = 2 sin ( | α β | 2 ) . {\displaystyle \|x-y\|={\sqrt {2-2\cos(|\alpha -\beta |)}}=2\sin \left({\frac {|\alpha -\beta |}{2}}\right).}

Jeśli ( P i , P j ) {\displaystyle (P_{i},P_{j})} dla i < j , {\displaystyle i<j,} jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to powyższy wzór można przedstawić jako

| P i P j | = 2 sin ( α j 2 α i 2 ) . {\displaystyle |P_{i}P_{j}|=2\sin \left({\frac {\alpha _{j}}{2}}-{\frac {\alpha _{i}}{2}}\right).}

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza

| P 1 P 3 | | P 2 P 4 | = | P 1 P 2 | | P 3 P 4 | + | P 1 P 4 | | P 2 P 3 | {\displaystyle |P_{1}P_{3}|\cdot |P_{2}P_{4}|=|P_{1}P_{2}|\cdot |P_{3}P_{4}|+|P_{1}P_{4}|\cdot |P_{2}P_{3}|}

przyjmie wtedy postać

sin ( α 3 2 α 1 2 ) sin ( α 4 2 α 2 2 ) = sin ( α 2 2 α 1 2 ) sin ( α 4 2 α 3 2 ) + sin ( α 4 2 α 1 2 ) sin ( α 3 2 α 2 2 ) . {\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha _{3}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{2}}{2}}\right)=\sin \left({\frac {\alpha _{2}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{3}}{2}}\right)+\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{3}}{2}}-{\frac {\alpha _{2}}{2}}\right).}

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów

sin α sin β = 1 2 ( cos ( α β ) cos ( α + β ) ) . {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ){\bigr )}.}

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co kończy dowód.

Dowód inwersyjny | edytuj kod

 Zobacz też: inwersjageometria inwersyjna. Podczas inwersji trzech wierzchołków czworokąta wpisanego przez okrąg przechodzący przez pozostały, czwarty wierzchołek, ich obrazy są współliniowe.

Niech dany będzie czworokąt A B C D {\displaystyle ABCD} wpisany w okrąg O {\displaystyle O} [5][6]. Niech dane będą również punkty B , C {\displaystyle B,C} oraz D {\displaystyle D} będące obrazami inwersyjnymi względem nowego okręgu O 1 {\displaystyle O_{1}} o środku w punkcie A {\displaystyle A} i pewnym promieniu r . {\displaystyle r.} Ponieważ punkty te leżą na okręgu O , {\displaystyle O,} który przechodzi przez środek okręgu O 1 , {\displaystyle O_{1},} to ich obrazy B , C {\displaystyle B',C'} i D {\displaystyle D'} będą współliniowe[7]. Wynika stąd, że

Skoro dwa punkty P {\displaystyle P} i Q {\displaystyle Q} są przekształcane przez inwersję względem okręgu o promieniu r , {\displaystyle r,} to zachodzić będzie[6]

| P Q | = r 2 | P Q | | O P | | O Q | . {\displaystyle |P'Q'|={\frac {r^{2}\cdot |PQ|}{|OP|\cdot |OQ|}}.}

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków | B C | , {\displaystyle |B'C'|,} | C D | {\displaystyle |C'D'|} i | D B | {\displaystyle |D'B'|} otrzymuje się

Po wstawieniu tych równości do wzoru (4) jest

| B C | | A B | | A C | + | C D | | A C | | A D | = | D B | | A D | | A B | , {\displaystyle {\frac {|BC|}{|AB|\cdot |AC|}}+{\frac {|CD|}{|AC|\cdot |AD|}}={\frac {|DB|}{|AD|\cdot |AB|}},}

skąd (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika) wynika teza.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Powyższe rozumowanie daje niemal natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego: jeśli założyć, że w czworokącie A B C D {\displaystyle ABCD} zachodzi zależność (1) i zbada inwersję punktów B , C {\displaystyle B,C} i D {\displaystyle D} względem pewnego okręgu o środku w A , {\displaystyle A,} to otrzyma się równość (4), z której wynika, że punkty B , C {\displaystyle B',C'} i D {\displaystyle D'} są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty B , C {\displaystyle B,C} i D {\displaystyle D} będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez A , {\displaystyle A,} co czyni je współokręgowymi.

Uogólnienia i wnioski | edytuj kod

Nierówność Ptolemeusza | edytuj kod

Jeśli trzy wierzchołki czworokąta nie będą współokręgowe, ich obrazy względem inwersji przez okrąg przechodzący przez czwarty wierzchołek nie będą współliniowe.

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie[8][6]:

Jeśli A B C D {\displaystyle ABCD} jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt A B C D {\displaystyle ABCD} jest wpisany w okrąg.

Dowód powyższej nierówności opiera się na własnościach inwersji[5] i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako że punkty B , C {\displaystyle B,C} i D {\displaystyle D} nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy (niekoniecznie współliniowe) punkty B , C {\displaystyle B',C'} i D , {\displaystyle D',} które spełniają nierówność trójkąta

| B C | + | C D | | B D | . {\displaystyle |B'C'|+|C'D'|\geqslant |B'D'|.}

Równość pojawia się, gdy wpomniane punkty są współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach dostaje się nierówność (10).

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, prawdziwego dla dowolnego czworokąta A B C D {\displaystyle ABCD} [3]:

| A C | 2 | B D | 2 = | A B | 2 | C D | 2 + | B C | 2 | A D | 2 2 | A B | | C D | | B C | | A D | cos ( A + C ) . {\displaystyle |AC|^{2}\cdot |BD|^{2}=|AB|^{2}\cdot |CD|^{2}+|BC|^{2}\cdot |AD|^{2}-2|AB|\cdot |CD|\cdot |BC|\cdot |AD|\cos(\sphericalangle A+\sphericalangle C).}

Gdy czworokąt A B C D {\displaystyle ABCD} jest wpisany w okrąg, suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:

| A C | 2 | B D | 2 = | A B | 2 | C D | 2 + | B C | 2 | A D | 2 + 2 | A B | | C D | | B C | | A D | {\displaystyle |AC|^{2}\cdot |BD|^{2}=|AB|^{2}\cdot |CD|^{2}+|BC|^{2}\cdot |AD|^{2}+2|AB|\cdot |CD|\cdot |BC|\cdot |AD|}

i ostatecznie | A C | | B D | = | A B | | C D | + | B C | | A D | . {\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.}

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

Przypisy | edytuj kod

  1. Ptolemeusz ↓.
  2. Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 42.
  3. a b c Bottema 2008 ↓, s. 104.
  4. Yiu 1998 ↓, s. 148–150.
  5. a b Bogomolny ↓.
  6. a b c Pedoe 1995 ↓, s. 10–11.
  7. Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 109.
  8. Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 42,106–107.

Bibliografia | edytuj kod

  • O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
  • H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
  • Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X
  • Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza:

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Ptolemeusza" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy