Twierdzenie Rademachera

Twierdzenie Rademachera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące od różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza[1]. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919[2].

Twierdzenie | edytuj kod

Jeżeli funkcja f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbf {R} } spełnia w zbiorze otwartym U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbf {R} ^{n}} warunek Lipschitza ze stałą M > 0 {\displaystyle M>0}

| f ( x ) − f ( y ) | ⩽ M ‖ x − y ‖ dla x , y ∈ U , {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant M\|x-y\|\quad {\text{dla}}\quad x,y\in U,}

to posiada różniczkę prawie wszędzie w U . {\displaystyle U.}

Uwagi | edytuj kod

1) Oczywiście z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji rzeczywistej (o wartościach w zbiorze R {\displaystyle \mathbf {R} } ) łatwo wnioskuje się, że jest ono prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni wektorowej R n . {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}.} Wynika to z faktu, że funkcja f : U → R n {\displaystyle f\colon U\to \mathbf {R} ^{n}} spełnia warunek Lipschita ⇔ każda składowa f k : U → R {\displaystyle f_{k}\colon U\to \mathbf {R} } funkcji f = ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{n})} spełnia warunek Lipschitza.

2) W twierdzeniu wystarczy założyć tylko spełnianie lokalnego warunku Lipschitza. Stała M > 0 {\displaystyle M>0} nie musi być globalna dla całego zbioru U . {\displaystyle U.}

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976, s. 160.
  2. ↑ William P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions', w: Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1989.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Rademachera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy