Twierdzenie Schreiera


Twierdzenie Schreiera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Twierdzenie Schreieratwierdzenie teorii grup mówiące, że dowolne dwa ciągi podnormalne grupy mają równoważne zagęszczenia, tzn. zagęszczenia o izomorficznych ilorazach, niekoniecznie w tej samej kolejności.

Twierdzenie zostało odkryte przez Ottona Schreiera w 1928 roku w wyniku próby uproszczenia dowodu twierdzenia Jordana-Höldera (dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny); sześć lat później Hans Zassenhaus opublikował lemat nazwany jego nazwiskiem w celu ulepszenia dowodu twierdzenia Schreiera – stąd pochodzi rzadsza, zamiennie stosowana nazwa twierdzenia: twierdzenie Schreiera-Zassenhausa. W przypadku uogólnień niekiedy spotyka się też nazwę twierdzenie Jordana-Höldera-Schreiera.

Innym zastosowaniem twierdzenia Schreiera jest możliwość wykazania, że w grupie z (co najmniej jednym) ciągiem kompozycyjnym dowolny ciąg podnormalny można zagęścić do ciągu kompozycyjnego: wystarczy zacząć od ciągów podnormalnego i kompozycyjnego konstruując ich równoważne zagęszczenia zgodnie z twierdzeniem – zagęszczenie ciągu normalnego stanie się ciągiem kompozycyjnym po zastąpieniu wszystkich powtarzających się podgrup w zagęszczeniu pojedynczym egzemplarzem każdej z tych podgrup (zob. lemat do twierdzenia Jordana-Höldera).

Sam autor zasygnalizował w przypisach, że twierdzenie zachodzi również dla grup z operatorami, jednak twierdzenie uogólnia się też na moduły, a nawet kraty modularne (dla których zachodzi lemat Zassenhausa pociągający twierdzenie Schreiera).

Twierdzenie | edytuj kod

 Zobacz też: ciąg podnormalny.

Niech

E = G 0 G n = G ( g ) {\displaystyle E=G_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq G_{n}=G\qquad (g)}

oraz

E = H 0 H m = G ( h ) {\displaystyle E=H_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq H_{m}=G\qquad (h)}

oznaczają dwa ciągi podnormalne grupy G {\displaystyle G} ( E {\displaystyle E} oznacza podgrupę trywialną).

Wówczas istnieją równoważne ciągi ( g ) , ( h ) {\displaystyle (g'),(h')} grupy G {\displaystyle G} będące odpowiednio zagęszczeniami ciągów ( g ) , ( h ) . {\displaystyle (g),(h).}

Dowód | edytuj kod

 Zobacz też: prawo modularności Dedekindalemat Zassenhausa.

Między każdymi dwiema grupami G i 1 {\displaystyle G_{i-1}} a G i {\displaystyle G_{i}} ( i = 1 , 2 , , n ) {\displaystyle (i=1,2,\dots ,n)} skonstruowany zostanie z ciągu ( h ) {\displaystyle (h)} taki ciąg, który będzie zaczynać się od G i 1 {\displaystyle G_{i-1}} i kończyć na G i . {\displaystyle G_{i}.} Istnieją dwa naturalne sposoby osiągnięcia tego celu: pierwszym jest pomnożenie każdego z wyrazów ciągu ( h ) {\displaystyle (h)} przez G i 1 {\displaystyle G_{i-1}} (dzięki temu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od G i 1 {\displaystyle G_{i-1}} ) oraz przecięcie iloczynów z G i {\displaystyle G_{i}} (dzięki temu zmieniony ciąg będzie się kończył na G i {\displaystyle G_{i}} ); drugim sposobem jest przecięcie każdego z wyrazów ( h ) {\displaystyle (h)} z G i {\displaystyle G_{i}} (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się kończył na G i {\displaystyle G_{i}} ) i pomnożenie przecięć przez G i 1 {\displaystyle G_{i-1}} (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od G i 1 {\displaystyle G_{i-1}} ) – jednak zgodnie z prawem modularności Dedekinda oba te ciągi między G i 1 {\displaystyle G_{i-1}} a G i {\displaystyle G_{i}} są identyczne.

Niech G i j = G i 1 H j G i = G i 1 ( H j G i ) {\displaystyle G_{ij}=G_{i-1}H_{j}\cap G_{i}=G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})} i podobnie H i j = H j 1 G i H j = H j 1 ( G i H j ) {\displaystyle H_{ij}=H_{j-1}G_{i}\cap H_{j}=H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})} ( i = 1 , 2 , , n ; {\displaystyle i=1,2,\dots ,n;} j = 1 , 2 , , m {\displaystyle j=1,2,\dots ,m} ). Ponieważ G i 1 G i , {\displaystyle G_{i-1}\trianglelefteq G_{i},} to G i 1 ( H j G i ) G i {\displaystyle G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})\leqslant G_{i}} (jako iloczyn półprosty; zob. iloczyn kompleksowy). W ten sposób G i j {\displaystyle G_{ij}} jest podgrupą w G i {\displaystyle G_{i}} i podobnie H i j {\displaystyle H_{ij}} jest podgrupą w H i . {\displaystyle H_{i}.} Dlatego

G i 1 = G i 0 G i 1 G i 2 G i m 1 G i m = G i ( g i ) {\displaystyle G_{i-1}=G_{i0}\leqslant G_{i1}\leqslant G_{i2}\leqslant \dots \leqslant G_{i\,m-1}\leqslant G_{im}=G_{i}\qquad (g_{i})}

oraz

H j 1 = H 0 j H 1 j H 2 j H n 1 j H n j = H j ( h i ) . {\displaystyle H_{j-1}=H_{0j}\leqslant H_{1j}\leqslant H_{2j}\leqslant \dots \leqslant H_{n-1\,j}\leqslant H_{nj}=H_{j}\qquad (h_{i}).}

Zgodnie z lematem Zassenhausa (przy oznaczeniach A = G i ,   B = G i 1 ,   C = H j ,   D = H j 1 {\displaystyle A=G_{i},\ B=G_{i-1},\ C=H_{j},\ D=H_{j-1}} ) otrzymuje się, dla każdego i = 1 , 2 , , n ; {\displaystyle i=1,2,\dots ,n;} j = 1 , 2 , , m : {\displaystyle j=1,2,\dots ,m{:}}

G i 1 ( G i H j 1 ) G i 1 ( G i H j ) , H j 1 ( G i 1 H j ) H j 1 ( G i H j ) {\displaystyle G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j-1})\trianglelefteq G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j}),\quad H_{j-1}(G_{i-1}\cap H_{j})\trianglelefteq H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})}

oraz

G i 1 ( G i H ) / G i 1 ( G i H j 1 ) H j 1 ( G i H j ) / H j 1 ( G i 1 H j ) . {\displaystyle G_{i-1}(G_{i}\cap H)/G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j-1})\simeq H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})/H_{j-1}(G_{i-1}\cap H_{j}).}

Zatem G i j 1 G i j ,   H i 1 j H i j {\displaystyle G_{i\,j-1}\trianglelefteq G_{ij},\ H_{i-1\,j}\trianglelefteq H_{ij}} oraz G i j / G i j 1 H i j / H i 1 j . {\displaystyle G_{ij}/G_{i\,j-1}\simeq H_{ij}/H_{i-1\,j}.} Stąd ( g i ) {\displaystyle (g_{i})} jest ciągiem między G i 1 {\displaystyle G_{i-1}} a G i , {\displaystyle G_{i},} a ( h j ) {\displaystyle (h_{j})} jest ciągiem między H j 1 {\displaystyle H_{j-1}} oraz H j . {\displaystyle H_{j}.} Zapisując kolejno wyrazy ( g 1 ) , ( g 2 ) , , ( g n ) {\displaystyle (g_{1}),(g_{2}),\dots ,(g_{n})} otrzymuje się ciąg ( g ) {\displaystyle (g')} grupy G {\displaystyle G} o n m {\displaystyle nm} ilorazach; podobnie zapisując kolejno wyrazy ( h 1 ) , ( h 2 ) , , ( h m ) {\displaystyle (h_{1}),(h_{2}),\dots ,(h_{m})} otrzymuje się ciąg ( h ) {\displaystyle (h')} grupy H {\displaystyle H} o m n {\displaystyle mn} ilorazach. Ciąg ( g ) {\displaystyle (g')} jest zagęszczeniem ( g ) , {\displaystyle (g),} a ( h ) {\displaystyle (h')} jest zagęszczeniem ( h ) . {\displaystyle (h).} Ostatecznie, wobec istnienia izomorfizmów G i j / G i j 1 H i j / H i 1 j {\displaystyle G_{ij}/G_{i\,j-1}\simeq H_{ij}/H_{i-1\,j}} ciągi ( g ) {\displaystyle (g')} i ( h ) {\displaystyle (h')} są równoważne.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Schreiera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy