Twierdzenie Talesa


Twierdzenie Talesa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Talesa – jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu[1][2]. Jest też ważnym twierdzeniem geometrii afinicznej.

Spis treści

Twierdzenie | edytuj kod

Proste równoległe przecinają ramiona kąta Proste równoległe przecinają ramiona kątów wierzchołkowych

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi nieprzechodzącymi przez wierzchołek kąta, to odpowiednie odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta[1][2].

Przy oznaczeniach na rysunku obok.

Jeśli B C D E , A B C , A D E , {\displaystyle BC\parallel DE,\quad A\notin BC,\;A\notin DE,}

to zachodzi każda z trzech równości:

| A E | | E C | = | A D | | D B | , | A E | | A C | = | A D | | A B | , | A C | | E C | = | A B | | D B | {\displaystyle {\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|AD|}{|DB|}},\quad {\frac {|AE|}{|AC|}}={\frac {|AD|}{|AB|}},\quad {\frac {|AC|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|DB|}}} [1][2].

Trzy równości można połączyć w jedną potrójną równość:

| A D | | A E | = | D B | | E C | = | A B | | A C | {\displaystyle {\frac {|AD|}{|AE|}}={\frac {|DB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}} [1][2]
Uwaga 1.

Twierdzenie zachodzi również, jeśli proste równoległe przecinają ramiona kątów wzajemnie wierzchołkowych.

Uwaga 2.

Twierdzenie może być sformułowane bez użycia pojęcia kąta:

Jeśli wiązka prostych parami równoległych przecina dwie nierównoległe do siebie proste a , b , {\displaystyle a,b,} to odpowiednie odcinki wyznaczone przez tę wiązkę na prostej a {\displaystyle a} są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez tę wiązkę na prostej b . {\displaystyle b.}

lub jeszcze ogólniej

Rzutowanie równoległe zachowuje proporcje długości na prostych, tzn. stosunek długości odcinków współliniowych jest niezmiennikiem rzutowania równoległego.

Twierdzenie odwrotne | edytuj kod

Zachodzi również następujące odwrotne twierdzenie.

Jeśli ramiona kąta o wierzchołku A {\displaystyle A} przecięte są dwiema prostymi B C , D E , {\displaystyle BC,DE,} przy czym punkty B , D {\displaystyle B,D} należą do jednego ramienia kąta, punkty C , E {\displaystyle C,E} do drugiego oraz:

| A E | | A C | = | A D | | A B | , {\displaystyle {\frac {|AE|}{|AC|}}={\frac {|AD|}{|AB|}},}

to B C D E , {\displaystyle BC\parallel DE,} tzn. proste B C , D E {\displaystyle BC,DE} są równoległe[2].

Uwaga

Gdyby warunek w założeniu zastąpić np. następującym:

| A E | | E C | = | A D | | D B | , {\displaystyle {\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|AD|}{|DB|}},}

to założenia należałoby uzupełnić o informacje o uporządkowaniu punktów, np.

punkt D {\displaystyle D} leży między punktami A , B ; {\displaystyle A,B;} punkt E {\displaystyle E} leży między punktami A , C . {\displaystyle A,C.}

Dowody | edytuj kod

Dowód wewnątrz geometrii syntetycznej | edytuj kod

(szkic) twierdzenie Talesa można dowieść korzystając z przejścia granicznego i dobrze określonej miary (np. Lebesgue’a na płaszczyźnie): stosunkowo łatwy jest dowód, gdy | A D | | D B | = | A E | | E C | = 1 , {\displaystyle {\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AE|}{|EC|}}=1,} podobnie gdy podzieli się odcinki w stosunku wymiernym, przypadek niewymierny dowodzi się przez przybliżenia za pomocą przejścia granicznego.

Dowód wewnątrz geometrii afinicznej | edytuj kod

Niech wektory A B , A C {\displaystyle {\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {AC}}} będą liniowo niezależne i niech dla pewnych k , l 0 D = A + k A B , E = A + l A C , {\displaystyle k,l\neq 0\;\;\;D=A+k\cdot {\overrightarrow {AB}},\;\;E=A+l\cdot {\overrightarrow {AC}},} tzn. A D = k A B , A E = l A C . {\displaystyle {\overrightarrow {AD}}=k\cdot {\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {AE}}=l\cdot {\overrightarrow {AC}}.}

Jeśli B C D E , {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}\parallel {\overrightarrow {DE}},} czyli s B C = D E , {\displaystyle s\cdot {\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {DE}},} dla pewnego s 0 , {\displaystyle s\neq 0,} to

s ( A C A B ) = s ( B A + A C ) = s B C = D E = D A + A E = A E A D = k A C l A B {\displaystyle s\cdot \left({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}\right)=s\cdot \left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)=s\cdot {\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {DE}}={\overrightarrow {DA}}+{\overrightarrow {AE}}={\overrightarrow {AE}}-{\overrightarrow {AD}}=k\cdot {\overrightarrow {AC}}-l\cdot {\overrightarrow {AB}}}

Przyrównując skrajne wyrażenia, redukując i porządkując:

( s k ) A C + ( l s ) A B = 0 {\displaystyle (s-k)\cdot {\overrightarrow {AC}}+(l-s)\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

Ponieważ A B , A C {\displaystyle {\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {AC}}} są liniowo niezależne, więc s = k , s = l , {\displaystyle s=k,\;s=l\quad {},} czyli k = l . {\displaystyle k=l.} Stąd

| A D | | A E | = | k A B | | l A C | = | A B | | A C | . {\displaystyle {\tfrac {\left|{\overrightarrow {AD}}\right|}{\left|{\overrightarrow {AE}}\right|}}={\tfrac {\left|k\cdot {\overrightarrow {AB}}\right|}{\left|l\cdot {\overrightarrow {AC}}\right|}}={\tfrac {\left|{\overrightarrow {AB}}\right|}{\left|{\overrightarrow {AC}}\right|}}.}

Odwrotnie, jeśli k = l , {\displaystyle k=l,} czyli | A D | | A E | = | k A B | | k A C | = | A B | | A C | , {\displaystyle {\tfrac {\left|{\overrightarrow {AD}}\right|}{\left|{\overrightarrow {AE}}\right|}}={\tfrac {\left|k\cdot {\overrightarrow {AB}}\right|}{\left|k\cdot {\overrightarrow {AC}}\right|}}={\tfrac {\left|{\overrightarrow {AB}}\right|}{\left|{\overrightarrow {AC}}\right|}},} to

D E = D A + A E = A E A D = k A C k A B = k ( A C A B ) = k ( B A + A C ) = k ( B C ) {\displaystyle {\overrightarrow {DE}}={\overrightarrow {DA}}+{\overrightarrow {AE}}={\overrightarrow {AE}}-{\overrightarrow {AD}}=k\cdot {\overrightarrow {AC}}-k\cdot {\overrightarrow {AB}}=k\cdot \left({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}\right)=k\cdot \left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)=k\cdot \left({\overrightarrow {BC}}\right)}

Stąd

B C D E . {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}\parallel {\overrightarrow {DE}}.}

Dowód Euklidesa | edytuj kod

Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.

Dowód oparty jest na dwóch lematach:

  1. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
  2. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
Dowód

Niech A B C {\displaystyle [ABC]} oznacza pole powierzchni trójkąta A B C . {\displaystyle ABC.}

Trójkąty C E D {\displaystyle CED} i E A D {\displaystyle EAD} mają wspólną wysokość h , {\displaystyle h',} więc na mocy lematu 1.:

| C E | | E A | = C E D E A D . {\displaystyle {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {[CED]}{[EAD]}}.}

Dodatkowo trójkąty C E D {\displaystyle CED} i B D E {\displaystyle BDE} mają wspólną podstawę E D {\displaystyle ED} i równe wysokości h , {\displaystyle h,} dlatego na mocy lematu 2:

C E D = B D E , {\displaystyle [CED]=[BDE],} stąd C E D E A D = B D E E A D . {\displaystyle {\frac {[CED]}{[EAD]}}={\frac {[BDE]}{[EAD]}}.}

Trójkąty B D E {\displaystyle BDE} i E A D {\displaystyle EAD} mają wspólną wysokość, więc zgodnie z lematem 1:

B D E E A D = | B D | | D A | . {\displaystyle {\frac {[BDE]}{[EAD]}}={\frac {|BD|}{|DA|}}.}

Przyrównując do siebie te równości otrzymuje się

| C E | | E A | = C E D E A D = B D E E A D = | B D | | D A | , {\displaystyle {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {[CED]}{[EAD]}}={\frac {[BDE]}{[EAD]}}={\frac {|BD|}{|DA|}},}

co kończy dowód.

Uwaga

W powyższym rozumowaniu korzysta się z faktu, iż pole trójkąta liczone dla jednego boku jako podstawy i opuszczonej na niego wysokości jest równe polu liczonemu dla innego boku jako podstawy i opuszczonej na ten bok wysokości. Jest to dość silna własność funkcji pola (wyżej korzysta się z niej w drugim zdaniu dowodu), jednak nie jest ona niezbędna do dowiedzenia twierdzenia Talesa i w szkolnej matematyce cicho się ją zakłada. Notabene własność tę można udowodnić właśnie z twierdzenia Talesa. Prowadzi to błędnego koła.

Wniosek | edytuj kod

proste równoległe przecinają ramiona kąta

Przy oznaczeniach na rysunku obok.

Jeśli B C D E , A B C , a D E , {\displaystyle BC\parallel DE,\quad A\notin BC,\;a\notin DE,}

to zachodzi każda z dwóch równości:

| A E | | A C | = | D E | | B C | , | A D | | A B | = | D E | | B C | . {\displaystyle {\frac {|AE|}{|AC|}}={\frac {|DE|}{|BC|}},\quad {\frac {|AD|}{|AB|}}={\frac {|DE|}{|BC|}}.}

Dwie równości można połączyć w jedną potrójną równość:

| A E | | A C | = | A D | | A B | = | D E | | B C | . {\displaystyle {\frac {|AE|}{|AC|}}={\frac {|AD|}{|AB|}}={\frac {|DE|}{|BC|}}.}

Zastosowania | edytuj kod

Podział odcinka w danym stosunku | edytuj kod

Poniższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, utożsamiane przez Greków z liczbami.

Zadanie
Dane są dwa odcinki o długościach a {\displaystyle a} i b . {\displaystyle b.} Dany odcinek A B {\displaystyle AB} podziel w stosunku a : b . {\displaystyle a:b.}

Rozwiązanie
Z punktu A {\displaystyle A} należy poprowadzić dwie niewspółliniowe półproste. Na jednej z nich odkładamy kolejno długości a {\displaystyle a} i b , {\displaystyle b,} a na drugiej odcinek A B . {\displaystyle AB.} Prowadzimy prostą przez punkt leżący w odległości a + b {\displaystyle a+b} na pierwszej półprostej oraz punkt B {\displaystyle B} leżący na drugiej, a następnie prostą do niej równoległą przechodzącą przez punkt leżący na drugiej półprostej w odległości a {\displaystyle a} od punktu A , {\displaystyle A,} która wyznacza na prostej A B {\displaystyle AB} punkt P . {\displaystyle P.} Punkt ten dzieli odcinek A B {\displaystyle AB} w stosunku a : b , {\displaystyle a:b,} gdyż z twierdzenia Talesa wynika, że | A P | | P B | = a b . {\displaystyle {\frac {|AP|}{|PB|}}={\frac {a}{b}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d Twierdzenie Talesa, Naukowiec.org [dostęp 2017-06-25]  (pol.).
  2. a b c d e Twierdzenie Talesa, www.math.edu.pl [dostęp 2017-06-25] .

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Talesa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy