Twierdzenie Tomkinsona


Podgrupa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Twierdzenie Tomkinsona) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Podgrupazbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”[a] podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne[b] o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacje | edytuj kod

 Zobacz też: grupapodzbiór.

Niech G {\displaystyle G} będzie grupą; podzbiór H G , {\displaystyle H\subseteq G,} który tworzy grupę ze względu na działanie określone na G , {\displaystyle G,} nazywa się podgrupą grupy G {\displaystyle G} i oznacza zwykle H G {\displaystyle H\leqslant G} [c]. Podgrupę H {\displaystyle H} jako grupę charakteryzują następujące warunki:

  • Wewnętrzność: działanie grupowe na H {\displaystyle H} jest zawężeniem działania grupy G {\displaystyle G} do zbioru H ; {\displaystyle H;} dlatego iloczyn elementów a , b H {\displaystyle a,b\in H} obliczany jest jako iloczyn elementów a {\displaystyle a} oraz b {\displaystyle b} w grupie G ; {\displaystyle G;} aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na H {\displaystyle H} dane wzorem ( a , b ) a b {\displaystyle (a,b)\mapsto ab} tak jak w grupie G {\displaystyle G} potrzeba, a zarazem wystarcza, by a b H {\displaystyle ab\in H} dla wszystkich a , b H . {\displaystyle a,b\in H.} Innymi słowy zbiór H {\displaystyle H} musi być zamknięty ze względu na działanie w G . {\displaystyle G.}
  • Łączność: działanie w H {\displaystyle H} musi być łączne, czyli dla wszystkich a , b , c H {\displaystyle a,b,c\in H} musi zachodzić ( a b ) c = a ( b c ) ; {\displaystyle (ab)c=a(bc);} wiadomo jednak, że ( a b ) c = a ( b c ) {\displaystyle (ab)c=a(bc)} dla a , b , c G , {\displaystyle a,b,c\in G,} a ponieważ H G , {\displaystyle H\subseteq G,} to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów a , b , c H ; {\displaystyle a,b,c\in H;} w ten sposób łączność działania w H {\displaystyle H} dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w G {\displaystyle G} ).
  • Element neutralny: zbiór H {\displaystyle H} nie może być pusty, gdyż jako grupa H {\displaystyle H} musi mieć element neutralny; niech e H {\displaystyle e\in H} spełnia a e = a {\displaystyle ae=a} dla dowolnego a H ; {\displaystyle a\in H;} w szczególności dla elementu neutralnego e {\displaystyle e} grupy H {\displaystyle H} zachodzi e e = e , {\displaystyle ee=e,} a ponieważ e H G , {\displaystyle e\in H\subseteq G,} to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że e {\displaystyle e} jest elementem neutralnym grupy G ; {\displaystyle G;} oznacza to, że element neutralny grupy G {\displaystyle G} jest zarazem elementem neutralnym w H , {\displaystyle H,} o ile tylko należy on do H , {\displaystyle H,} tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w H , {\displaystyle H,} gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w G {\displaystyle G} należy do H . {\displaystyle H.}
  • Odwracalność: dla każdego a H {\displaystyle a\in H} musi istnieć x H , {\displaystyle x\in H,} dla których a x = e ; {\displaystyle ax=e;} odczytanie tego równania w grupie G {\displaystyle G} daje natychmiastowo rozwiązanie x = a 1 {\displaystyle x=a^{-1}} w postaci elementu odwrotnego do a {\displaystyle a} w grupie G ; {\displaystyle G;} element odwrotny do a {\displaystyle a} istnieje w G , {\displaystyle G,} dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny a 1 {\displaystyle a^{-1}} do a {\displaystyle a} należący do G {\displaystyle G} jest również elementem H . {\displaystyle H.}

Podsumowując: niepusty podzbiór H {\displaystyle H} grupy G {\displaystyle G} jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

  • jest zamknięty na działanie: a b H {\displaystyle ab\in H} dla wszystkich a , b H ; {\displaystyle a,b\in H;}
  • zawiera element neutralny grupy: e H ; {\displaystyle e\in H;}
  • jest zamknięty na odwracanie: a 1 H {\displaystyle a^{-1}\in H} dla każdego a H . {\displaystyle a\in H.}

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech a H {\displaystyle a\in H} (gdyż H {\displaystyle H} jest niepusty, H {\displaystyle H\neq \varnothing } ), wtedy z trzeciego warunku a 1 H , {\displaystyle a^{-1}\in H,} a więc a a 1 H {\displaystyle aa^{-1}\in H} na mocy pierwszego, co daje e H . {\displaystyle e\in H.} Innymi słowy sprawdzenie, czy e H , {\displaystyle e\in H,} można pominąć zakładając, iż H {\displaystyle H} jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy H , {\displaystyle H\neq \varnothing ,} to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy e H . {\displaystyle e\in H.} Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą
Niepusty podzbiór H {\displaystyle H} grupy G {\displaystyle G} jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki a b H d l a   w s z y s t k i c h   a , b H ; {\displaystyle ab\in H\;\;\quad \mathrm {dla\ wszystkich\ } a,b\in H;} oraz a 1 H d l a   k a z ˙ d e g o   a H . {\displaystyle a^{-1}\in H\quad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego\ } a\in H.}

Powyższe dwa warunki (wraz z H {\displaystyle H\neq \varnothing } ) często łączy się w jeden: a 1 b H {\displaystyle a^{-1}b\in H} dla wszystkich a , b H {\displaystyle a,b\in H} [d]; jest on zupełnie równoważny warunkowi a b 1 H {\displaystyle ab^{-1}\in H} dla wszystkich a , b H {\displaystyle a,b\in H} [e]. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą skończoną
Niepusty podzbiór skończony H {\displaystyle H} grupy G {\displaystyle G} bądź niepusty podzbiór H {\displaystyle H} grupy skończonej G {\displaystyle G} jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy a b H {\displaystyle ab\in H} dla wszystkich a , b H {\displaystyle a,b\in H} [f][g].

Przykłady | edytuj kod

Podgrupy trywialna i niewłaściwa
 Zobacz też: grupa trywialna. W dowolnej grupie G {\displaystyle G} zbiór jednoelementowy { e } {\displaystyle \{e\}} oraz zbiór G {\displaystyle G} są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli H {\displaystyle H} jest podgrupą właściwą w G , {\displaystyle G,} to czasem używa się oznaczenia H < G {\displaystyle H<G} [h], nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli H {\displaystyle H} jest podgrupą w G , {\displaystyle G,} zaś K {\displaystyle K} jest podgrupą w H , {\displaystyle H,} to K {\displaystyle K} jest podgrupą w G . {\displaystyle G.}
Kryterium bycia podgrupą
 Zobacz też: dzielnik, część wspólnagrupa permutacji. Niech 4 Z = { 4 z Z : z Z } = { u Z : 4 u } {\displaystyle 4\mathbb {Z} =\{4z\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}=\{u\in \mathbb {Z} \colon 4\mid u\}} będzie podzbiorem liczb całkowitych Z {\displaystyle \mathbb {Z} } podzielnych przez 4. {\displaystyle 4.} Zbiór Z {\displaystyle \mathbb {Z} } tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór 4 Z {\displaystyle 4\mathbb {Z} } jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności[i], a więc 4 Z {\displaystyle 4\mathbb {Z} } jest podgrupą w Z . {\displaystyle \mathbb {Z} .} Analogicznie dowodzi się, że zbiór n Z = { n z Z : z Z } {\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}} dla dowolnego n {\displaystyle n} będącego liczbą naturalną jest podgrupą w Z , {\displaystyle \mathbb {Z} ,} a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać. Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę Q + × {\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\times }} w grupie Q × {\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }} niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli a , b > 0 , {\displaystyle a,b>0,} to a b > 0 {\displaystyle ab>0} oraz 1 a > 0 ; {\displaystyle {\tfrac {1}{a}}>0;} podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } (należy wyżej zastąpić Q {\displaystyle \mathbb {Q} } znakiem R {\displaystyle \mathbb {R} } i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”). Jeżeli H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} są podgrupami w G , {\displaystyle G,} to ich część wspólna H 1 H 2 {\displaystyle H_{1}\cap H_{2}} również jest podgrupą w G {\displaystyle G} [j]. Analogicznie część wspólna i I H i {\displaystyle \bigcap \nolimits _{i\in I}H_{i}} rodziny { H i } i I {\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}} podgrup grupy G {\displaystyle G} indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów I {\displaystyle I} również jest podgrupą w G . {\displaystyle G.} Niech S {\displaystyle S} oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór T = { f S : f ( 0 ) = 0 } {\displaystyle T=\{f\in S\colon f(0)=0\}} jest podgrupą w S {\displaystyle S} jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:
  • Otóż zbiór T {\displaystyle T} jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe i S {\displaystyle i\in S} dane wzorem i ( x ) = x , {\displaystyle i(x)=x,} dla którego zachodzi i ( 0 ) = 0. {\displaystyle i(0)=0.}
  • Ponadto jeżeli f , g T , {\displaystyle f,g\in T,} to f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} oraz g ( 0 ) = 0 , {\displaystyle g(0)=0,} co oznacza ( f g ) ( 0 ) = f ( g ( 0 ) ) = f ( 0 ) = 0 , {\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0,} a więc f g T . {\displaystyle f\circ g\in T.}
  • Wreszcie jeśli f T , {\displaystyle f\in T,} to f ( 0 ) = 0 , {\displaystyle f(0)=0,} a zatem f 1 ( f ( 0 ) ) = f 1 ( 0 ) , {\displaystyle f^{-1}(f(0))=f^{-1}(0),} stąd ( f 1 f ) ( 0 ) = i ( 0 ) = f 1 ( 0 ) , {\displaystyle \left(f^{-1}\circ f\right)(0)=i(0)=f^{-1}(0),} tzn. 0 = f 1 ( 0 ) , {\displaystyle 0=f^{-1}(0),} czyli f 1 T . {\displaystyle f^{-1}\in T.}
Kryterium bycia podgrupą skończoną
 Zobacz też: arytmetyka modularna, reszta z dzieleniarząd. Niech dany będzie podzbiór U = { 1 ¯ , 3 ¯ , 5 ¯ , 7 ¯ } {\displaystyle U=\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}} grupy Z 8 {\displaystyle \mathbb {Z} _{8}} wraz z mnożeniem modulo 8 , {\displaystyle 8,} przy czym x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} oznacza redukcję liczby całkowitej x {\displaystyle x} modulo 8 {\displaystyle 8} (tzn. resztę z dzielenia x {\displaystyle x} przez 8 {\displaystyle 8} ). Ponieważ 1 ¯   1 ¯ = 1 ¯ , 1 ¯   3 ¯ = 3 ¯ , 1 ¯   5 ¯ = 5 ¯ , 1 ¯   7 ¯ = 7 ¯ , 3 ¯   1 ¯ = 3 ¯ , 3 ¯   3 ¯ = 1 ¯ , 3 ¯   5 ¯ = 7 ¯ , 3 ¯   7 ¯ = 5 ¯ , 5 ¯   1 ¯ = 5 ¯ , 5 ¯   3 ¯ = 7 ¯ , 5 ¯   5 ¯ = 1 ¯ , 5 ¯   7 ¯ = 3 ¯ , 7 ¯   1 ¯ = 7 ¯ , 7 ¯   3 ¯ = 5 ¯ , 7 ¯   5 ¯ = 3 ¯ , 7 ¯   7 ¯ = 1 ¯ , {\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {3}}={\overline {3}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {5}}={\overline {5}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {7}}={\overline {7}},\\{\overline {3}}\ {\overline {1}}={\overline {3}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {5}}={\overline {7}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {7}}={\overline {5}},\\{\overline {5}}\ {\overline {1}}={\overline {5}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {3}}={\overline {7}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {7}}={\overline {3}},\\{\overline {7}}\ {\overline {1}}={\overline {7}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {3}}={\overline {5}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {5}}={\overline {3}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},\end{matrix}}} to zbiór U {\displaystyle U} jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro Z 8 {\displaystyle \mathbb {Z} _{8}} jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór U {\displaystyle U} powinien być podgrupą w Z 8 . {\displaystyle \mathbb {Z} _{8}.} Byłaby to prawda, gdyby Z 8 {\displaystyle \mathbb {Z} _{8}} była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu 0 ¯ {\displaystyle {\overline {0}}} ); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem). Mimo to U {\displaystyle U} jest grupą ze względu na mnożenie[k]: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na Z 8 , {\displaystyle \mathbb {Z} _{8},} co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto 1 ¯ U {\displaystyle {\overline {1}}\in U} oraz a ¯   1 ¯ = a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\ {\overline {1}}={\overline {a}}} dla wszystkich a ¯ U {\displaystyle {\overline {a}}\in U} (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd 1 ¯ {\displaystyle {\overline {1}}} jest elementem neutralnym w U ; {\displaystyle U;} każdy element U {\displaystyle U} ma odwrotność należącą do U {\displaystyle U} – wynika to z równań 1 ¯   1 ¯ = 1 ¯ , {\displaystyle {\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},} 3 ¯   3 ¯ = 1 ¯ , {\displaystyle {\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},} 5 ¯   5 ¯ = 1 ¯ , {\displaystyle {\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},} 7 ¯   7 ¯ = 1 ¯ , {\displaystyle {\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},} oraz 1 ¯ , 3 ¯ , 5 ¯ , 7 ¯ U . {\displaystyle {\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\in U.} Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną, można się przekonać, iż podzbiory { 1 ¯ , 3 ¯ } , {\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}}\},} { 1 ¯ , 5 ¯ } , {\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {5}}\},} { 1 ¯ , 7 ¯ } {\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {7}}\}} są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w U , {\displaystyle U,} gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w U {\displaystyle U} mają rzędy 1 , 2 , 4 , {\displaystyle 1,2,4,} które są dzielnikami rzędu | U | = 4 {\displaystyle |U|=4} grupy U . {\displaystyle U.} Podzbiór E = { 1 , 1 , i , i } {\displaystyle E=\{1,-1,i,-i\}} tworzy podgrupę grupy C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że { 1 , 1 } {\displaystyle \{1,-1\}} jest podgrupą w E . {\displaystyle E.} Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby i {\displaystyle i} lub i , {\displaystyle -i,} to musiałaby także zawierać i 2 , i 3 , i 4 {\displaystyle i^{2},i^{3},i^{4}} lub ( i ) 2 , ( i ) 3 , ( i ) 4 , {\displaystyle (-i)^{2},(-i)^{3},(-i)^{4},} czyli tworzyłaby wtedy całą grupę E . {\displaystyle E.} Dlatego E {\displaystyle E} ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu 1 , {\displaystyle 1,} jedną rzędu 2 {\displaystyle 2} i jedną rzędu 4. {\displaystyle 4.} W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu | E | = 4 {\displaystyle |E|=4} grupy E . {\displaystyle E.} Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli P = { z Z : z > 0 } {\displaystyle P=\{z\in \mathbb {Z} \colon z>0\}} jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi N {\displaystyle \mathbb {N} } ), to mimo iż Z {\displaystyle \mathbb {Z} } jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór P {\displaystyle P} jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania ( 0 P ) ; {\displaystyle (0\notin P);} rozpatrywanie N = { z Z : z 0 } {\displaystyle N=\{z\in \mathbb {Z} \colon z\geqslant 0\}} (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa Z {\displaystyle \mathbb {Z} } jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).
Sumy mnogościowe
 Zobacz też: suma zbiorów. W ogólności suma mnogościowa H 1 H 2 {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}} podgrup H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy H 1 H 2 {\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}} lub H 1 H 2 {\displaystyle H_{1}\supseteq H_{2}} [l]; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli H {\displaystyle H} jest podgrupą w G {\displaystyle G} zawartą w H 1 H 2 , {\displaystyle H_{1}\cup H_{2},} to H {\displaystyle H} zawiera się w całości w H 1 {\displaystyle H_{1}} lub H 2 {\displaystyle H_{2}} (być może w obu z nich)[m][n]. Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę[o]. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe[p][q][r], z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych[s], zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych[t][u].
Pojęcia
 Zobacz też: zbiór generatorów grupy, grupa cyklicznarząd. Podgrupę grupy G {\displaystyle G} generowaną przez jej podzbiór X {\displaystyle X} można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru X , {\displaystyle X,} tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór X . {\displaystyle X.} Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór { a } {\displaystyle \{a\}} grupy G {\displaystyle G} nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez a , {\displaystyle a,} zaś sam element a {\displaystyle a} nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu a {\displaystyle a} nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów. Przypadki grup U {\displaystyle U} i E {\displaystyle E} opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange’a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.
Własności
 Osobne artykuły: centralizator oraz centrum, komutantpodgrupa normalna. Niech G {\displaystyle G} będzie dowolną grupą; zbiór C ( x ) = { a G : a x = x a } {\displaystyle \mathrm {C} (x)=\{a\in G\colon ax=xa\}} elementów grupy G {\displaystyle G} przemiennych z ustalonym jej elementem x G {\displaystyle x\in G} tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu x {\displaystyle x} [v]; podobnie zbiór Z ( G ) = { a G : a x = x a  dla  x G } {\displaystyle \mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ax=xa{\mbox{ dla }}x\in G\}} elementów grupy G , {\displaystyle G,} które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy G {\displaystyle G} [w]. Dla dwóch elementów x , y {\displaystyle x,y} dowolnej grupy G {\displaystyle G} element x , y = x y x 1 y 1 {\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}} nazywa się ich komutatorem; przy czym x , y = e {\displaystyle [x,y]=e} wtedy i tylko wtedy, gdy x , y {\displaystyle x,y} są przemienne, tzn. x y = y x . {\displaystyle xy=yx.} Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów X , Y {\displaystyle X,Y} grupy G {\displaystyle G} ich komutantem X , Y {\displaystyle [X,Y]} nazywa się podgrupę w G {\displaystyle G} generowaną przez wszystkie komutatory x , y , {\displaystyle [x,y],} gdzie x X {\displaystyle x\in X} oraz y Y . {\displaystyle y\in Y.} Podgrupę G , G {\displaystyle [G,G]} nazywa się komutantem lub pochodną grupy G . {\displaystyle G.} Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup H {\displaystyle H} pewnej grupy G , {\displaystyle G,} które są przemienne z dowolnym elementem a G , {\displaystyle a\in G,} tzn. dla każdego a G , {\displaystyle a\in G,} zachodzi a H = H a {\displaystyle aH=Ha} [x][y]. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} z mnożeniem modulo n {\displaystyle n} z grupy liczb całkowitych Z {\displaystyle \mathbb {Z} } oraz jej podgrupy n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } (zob. wyżej).
Ilustracje
Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto: Twierdzenie Cayleya mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Żadne dwie podgrupy nie są rozłączne w sensie mnogościowym (jako podzbiory), jednak jako rozłączne w sensie algebraicznym można uważać podgrupy, których jedynym wspólnym elementem jest element neutralny; niekiedy mówi się o nich, że mają trywialne przecięcie – nazywa się je zwykle ortogonalnymi (por. ortogonalność).
  2. Wspomniane podstruktury są przypadkami szczególnymi ogólniejszych podstruktur tzw. modułów: podmodułu czystego oraz podmodułu istotnego (każda grupa przemienna jest modułem nad liczbami całkowitymi).
  3. Dokładniej: niech ( G , ) {\displaystyle (G,\cdot )} oraz ( H , ) {\displaystyle (H,\circ )} będą grupami; H {\displaystyle H} jest podgrupą G , {\displaystyle G,} gdy H {\displaystyle H} jest podzbiorem G {\displaystyle G} oraz a b = a b {\displaystyle a\cdot b=a\circ b} dla wszystkich a , b H . {\displaystyle a,b\in H.}
    W szczególności wynika stąd, że elementy neutralne G {\displaystyle G} oraz H {\displaystyle H} są tożsame. Otóż niech H {\displaystyle H} będzie podgrupą G , {\displaystyle G,} a e , f {\displaystyle e,f} oznaczają elementy neutralne odpowiednio G , H ; {\displaystyle G,H;} wówczas f f = f f = f {\displaystyle f\cdot f=f\circ f=f} oraz f e = f , {\displaystyle f\cdot e=f,} czyli f f = f e , {\displaystyle f\cdot f=f\cdot e,} a więc istnienia elementu odwrotnego do f {\displaystyle f} (z własności skracania) w G {\displaystyle G} jest f = e , {\displaystyle f=e,} co oznacza, że element neutralny grupy należy do jej dowolnej podgrupy (zob. dalej).
    W ogólności nie wyróżnia się działań grupy i podgrupy, oznaczając je tym samym symbolem.
  4. Jeżeli a b H {\displaystyle ab\in H} dla dowolnych a , b H {\displaystyle a,b\in H} oraz a 1 H {\displaystyle a^{-1}\in H} dla każdego a H , {\displaystyle a\in H,} to w istocie również a 1 b H ; {\displaystyle a^{-1}b\in H;} jeżeli zaś a 1 b H {\displaystyle a^{-1}b\in H} dla a , b H , {\displaystyle a,b\in H,} to z a 1 b H {\displaystyle a^{-1}b\in H} otrzymuje się a 1 H {\displaystyle a^{-1}\in H} dla b = e . {\displaystyle b=e.} (ze względu na b 1 a = ( a 1 b ) 1 H , {\displaystyle b^{-1}a=\left(a^{-1}b\right)^{-1}\in H,} czyli b 1 a a 1 b = b 1 b = e H {\displaystyle b^{-1}aa^{-1}b=b^{-1}b=e\in H} ), w ten sposób a a a 1 b = a b H . {\displaystyle aaa^{-1}b=ab\in H.}
  5. Dowód można uzyskać, rozumując analogicznie jak wyżej, bądź zastępując elementy a , b {\displaystyle a,b} ich odwrotnościami (zawsze istnieją w grupie G {\displaystyle G} ).
  6. Wystarczy wykazać, że w przypadku, gdy H {\displaystyle H} jest skończony, warunek odwracalności wynika z warunku zamkniętości na działanie, dzięki czemu oba te warunki będą równoważne drugiemu z nich, co jest tezą stwierdzenia: w tym celu należy dowieść, iż a 1 H {\displaystyle a^{-1}\in H} pod warunkiem skończoności i zamkniętości H {\displaystyle H} na działanie. Niech a H ; {\displaystyle a\in H;} skoro H {\displaystyle H} jest zamknięte na mnożenie, to należy do niego dowolne złożenie a , {\displaystyle a,} tzn. a k H {\displaystyle a^{k}\in H} dla k {\displaystyle k} będącego liczbą naturalną. Ponieważ H {\displaystyle H} jest skończony, to elementy a , a 2 , a 3 , , a k , {\displaystyle a,a^{2},a^{3},\dots ,a^{k},\dots } muszą się powtarzać, zatem a m = a n {\displaystyle a^{m}=a^{n}} dla pewnych liczb naturalnych m n {\displaystyle m\neq n} (por. grupa cykliczna i rząd elementu oraz zob. Przykłady). Przyjmując bez straty ogólności, że m > n {\displaystyle m>n} otrzymuje się a m n 1 a = a m n = a m a n = a m ( a n ) 1 = a m ( a m ) 1 = e , {\displaystyle a^{m-n-1}a=a^{m-n}=a^{m}a^{-n}=a^{m}\left(a^{n}\right)^{-1}=a^{m}\left(a^{m}\right)^{-1}=e,} co oznacza, że a 1 = a m n 1 H ; {\displaystyle a^{-1}=a^{m-n-1}\in H;} zatem H {\displaystyle H} jest zamknięty ze względu na branie odwrotności.
  7. Drugi warunek pociąga pierwszy, ponieważ dowolny podzbiór zbioru skończonego jest skończony.
  8. Innym jest H G {\displaystyle H\leqslant G} z przekreślonym znakiem równości, którego względnie dobrymi zastępnikami są H G {\displaystyle H\lneq G} lub H G . {\displaystyle H\lneqq G.}
  9. Niech a , b , c {\displaystyle a,b,c} będą liczbami całkowitymi: jeżeli a b {\displaystyle a\mid b} oraz a c , {\displaystyle a\mid c,} to a b + c ; {\displaystyle a\mid b+c;} jeśli a b , {\displaystyle a\mid b,} to a b {\displaystyle a\mid -b} (dowody tych własności można znaleźć w artykule dzielnik). Stąd dla x , y 4 Z {\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} } zachodzą podzielności 4 x {\displaystyle 4\mid x} oraz 4 y , {\displaystyle 4\mid y,} z których wynika 4 x + y , {\displaystyle 4\mid x+y,} co oznacza x , y 4 Z ; {\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} ;} podobnie jeśli x 4 Z , {\displaystyle x\in 4\mathbb {Z} ,} to 4 x {\displaystyle 4\mid x} pociąga 4 x , {\displaystyle 4\mid -x,} czyli x 4 Z . {\displaystyle -x\in 4\mathbb {Z} .}
  10. Istotnie, H 1 H 2 , {\displaystyle H_{1}\cap H_{2}\neq \varnothing ,} gdyż e H 1 {\displaystyle e\in H_{1}} oraz e H 2 ; {\displaystyle e\in H_{2};} ponadto jeżeli a , b H 1 H 2 , {\displaystyle a,b\in H_{1}\cap H_{2},} to a , b H 1 {\displaystyle a,b\in H_{1}} i a , b H 2 , {\displaystyle a,b\in H_{2},} skąd a b H 1 {\displaystyle ab\in H_{1}} i a b H 2 , {\displaystyle ab\in H_{2},} a więc a b H 1 H 2 ; {\displaystyle ab\in H_{1}\cap H_{2};} dodatkowo z a H 1 H 2 {\displaystyle a\in H_{1}\cap H_{2}} wynika a H 1 {\displaystyle a\in H_{1}} i a H 2 , {\displaystyle a\in H_{2},} a więc a 1 H 1 {\displaystyle a^{-1}\in H_{1}} i a 1 H 2 , {\displaystyle a^{-1}\in H_{2},} co pociąga a 1 H 1 H 2 ; {\displaystyle a^{-1}\in H_{1}\cap H_{2};} stąd H 1 H 2 {\displaystyle H_{1}\cap H_{2}} jest podgrupą w G . {\displaystyle G.}
  11. Aby uniknąć tego rodzaju pomyłek, stosuje się czasem konwencję oznaczania grup addytywnych i multiplikatywnych w indeksie górnym odpowiednio za pomocą znaku dodawania i mnożenia, w tym przypadku Z 8 {\displaystyle \mathbb {Z} _{8}} oraz U {\displaystyle U} oznaczane byłyby odpowiednio symbolami Z 8 + , Z 8 × . {\displaystyle \mathbb {Z} _{8}^{+},\mathbb {Z} _{8}^{\times }.}
  12. Równoważnie: H 1 H 2 = H 2 {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}} bądź H 1 H 2 = H 1 ; {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1};} czy też H 1 H 2 = H 1 {\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{1}} albo H 1 H 2 = H 2 . {\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{2}.}
  13. Dowód przez kontrapozycję: jeżeli H {\displaystyle H} nie zawiera się w H 1 {\displaystyle H_{1}} ani w H 2 , {\displaystyle H_{2},} to można znaleźć element h 1 {\displaystyle h_{1}} należący do H , {\displaystyle H,} lecz nie do H 2 {\displaystyle H_{2}} oraz element h 2 {\displaystyle h_{2}} należący do H , {\displaystyle H,} lecz nie do H 1 ; {\displaystyle H_{1};} z założenia h 1 , h 2 H H 1 H 2 , {\displaystyle h_{1},h_{2}\in H\subseteq H_{1}\cup H_{2},} zatem h 1 H 1 H , {\displaystyle h_{1}\in H_{1}\cap H,} ale h 1 H 2 {\displaystyle h_{1}\notin H_{2}} oraz h 2 H 2 H , {\displaystyle h_{2}\in H_{2}\cap H,} ale h 2 H 1 ; {\displaystyle h_{2}\notin H_{1};} z założenia i faktu, iż H {\displaystyle H} jest podgrupą, wynikałoby wtedy h 1 h 2 H , {\displaystyle h_{1}h_{2}\in H,} skąd h 1 h 2 H 1 , {\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{1},} czyli h 2 H 1 {\displaystyle h_{2}\in H_{1}} lub h 1 h 2 H 2 , {\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{2},} czyli h 1 H 2 , {\displaystyle h_{1}\in H_{2},} a to dawałoby sprzeczność z założeniem. Stąd H {\displaystyle H} jest podgrupą w H 1 {\displaystyle H_{1}} bądź H 2 . {\displaystyle H_{2}.}
  14. Jeżeli H 1 H 2 {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}} jest podgrupą, to przyjmując H = H 1 H 2 {\displaystyle H=H_{1}\cup H_{2}} otrzymuje się H 1 H 2 H 1 {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{1}} lub H 1 H 2 H 2 . {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{2}.} Z drugiej strony w każdym z przypadków, H 1 H 2 = H 2 {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}} lub H 1 H 2 = H 1 , {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1},} zbiór H 1 H 2 {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}} jest podgrupą.
  15. Przykładem może być tzw. grupa czwórkowa Kleina { e , a , b , a b } , {\displaystyle \{e,a,b,ab\},} w której { e , a } ,   { e , b } ,   { e , a b } {\displaystyle \{e,a\},\ \{e,b\},\ \{e,ab\}} są nietrywialnymi podgrupami właściwymi dającymi w sumie całą grupę.
  16. Dowód: Niech G = A B C , {\displaystyle G=A\cup B\cup C,} gdzie A , {\displaystyle A,} B {\displaystyle B} oraz C {\displaystyle C} są podgrupami właściwymi G , {\displaystyle G,} a ponadto dane jest rozbicie G {\displaystyle G} na siedem rozłącznych części: S A , {\displaystyle S_{A},} S B , {\displaystyle S_{B},} S C , {\displaystyle S_{C},} S A B , {\displaystyle S_{AB},} S A C , {\displaystyle S_{AC},} S B C , {\displaystyle S_{BC},} S A B C {\displaystyle S_{ABC}} (elementy podziału zawierające wyłącznie część wspólną wymienionych w indeksie dolnym zbiorów). Ponieważ nie istnieje grupa będąca sumą mnogościową dwóch podgrup właściwych, to S A , {\displaystyle S_{A},} S B {\displaystyle S_{B}} oraz S C {\displaystyle S_{C}} są niepuste.
    Należy wykazać, że S A B = S B C = S A C = . {\displaystyle S_{AB}=S_{BC}=S_{AC}=\varnothing .} Niech a S A {\displaystyle a\in S_{A}} oraz x S B C . {\displaystyle x\in S_{BC}.} Wówczas a x A , {\displaystyle ax\notin A,} gdyż w przeciwnym przypadku x A , {\displaystyle x\in A,} sprzeczność. Również a x B C , {\displaystyle ax\notin B\cup C,} gdyż w przeciwnym przypadku oznaczałoby to a B {\displaystyle a\in B} lub a C , {\displaystyle a\in C,} co znowu daje sprzeczność. Stąd S B C = . {\displaystyle S_{BC}=\varnothing .} Podobnie, S A B = S A C = . {\displaystyle S_{AB}=S_{AC}=\varnothing .} Ostatecznie G = S A S B S C S A B C . {\displaystyle G=S_{A}\cup S_{B}\cup S_{C}\cup S_{ABC}.}
    Jeżeli a S A {\displaystyle a\in S_{A}} oraz b S B , {\displaystyle b\in S_{B},} to a b A B . {\displaystyle ab\notin A\cup B.} Zatem a b S C , {\displaystyle ab\in S_{C},} skąd S A S B S C {\displaystyle S_{A}S_{B}\subseteq S_{C}} (podobnie S C S B S A {\displaystyle S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}} itd.). Odwrotnie, niech c S C , {\displaystyle c\in S_{C},} zaś dla dowolnego b S B {\displaystyle b\in S_{B}} będzie a = c b 1 S C S B S A . {\displaystyle a=cb^{-1}\in S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}.} Wtedy c = a b S A S B {\displaystyle c=ab\in S_{A}S_{B}} tak, że S C S A S B . {\displaystyle S_{C}\subseteq S_{A}S_{B}.} Dlatego S A S B = S C . {\displaystyle S_{A}S_{B}=S_{C}.} Analogicznie dane są równości S B S C = S A , S C S A = S B {\displaystyle S_{B}S_{C}=S_{A},S_{C}S_{A}=S_{B}} wraz z S B S A = S C , {\displaystyle S_{B}S_{A}=S_{C},} S C S B = S A {\displaystyle S_{C}S_{B}=S_{A}} oraz S A S C = S B . {\displaystyle S_{A}S_{C}=S_{B}.}
    Rozumując w niemal ten sam sposób S A 2 = S B 2 = S C 2 = S A S B S C = S A B C , {\displaystyle S_{A}^{2}=S_{B}^{2}=S_{C}^{2}=S_{A}S_{B}S_{C}=S_{ABC},} a zarazem, dla dowolnego a S A , {\displaystyle a\in S_{A},} jest a S A B C = S A B C a = S A . {\displaystyle a\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot a=S_{A}.} Podobnie, dla dowolnych b S B {\displaystyle b\in S_{B}} oraz c S C , {\displaystyle c\in S_{C},} zachodzi b S A B C = S A B C b = S B {\displaystyle b\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot b=S_{B}} oraz c S A B C = S A B C c = S C . {\displaystyle c\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot c=S_{C}.}
    Wówczas S A , {\displaystyle S_{A},} S B , {\displaystyle S_{B},} S C {\displaystyle S_{C}} oraz S A B C {\displaystyle S_{ABC}} tworzą cztery (lewo- i prawostronne!) warstwy S A B C . {\displaystyle S_{ABC}.} Wynika stąd, że S A B C {\displaystyle S_{ABC}} jest podgrupą normalną G , {\displaystyle G,} zaś G / S A B C {\displaystyle G/S_{ABC}} ma strukturę grupy izomorficzną grupą czwórkową Kleina Z 2 × Z 2 . {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}
    Z drugiej strony, jeśli G {\displaystyle G} ma iloraz G / N {\displaystyle G/N} izomorficzny z Z 2 × Z 2 , {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2},} to G / N {\displaystyle G/N} jest sumą (mnogościową) swoich trzech podgrup H 1 , {\displaystyle H_{1},} H 2 {\displaystyle H_{2}} i H 3 {\displaystyle H_{3}} indeksu 2. Przeciwobrazy H 1 , {\displaystyle H_{1},} H 2 {\displaystyle H_{2}} oraz H 3 {\displaystyle H_{3}} w odwzorowaniu ilorazowym są więc trzema podgrupami właściwymi indeksu 2 stanowiącymi pokrycie G . {\displaystyle G.}
  17. Ponadto wspomniana część wspólna jest podgrupą normalną (zob. Ważne podgrupy) w całej grupie, a jej grupa ilorazowa (zob. Ważne podgrupy) jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.
    Twierdzenie: Jeżeli grupa jest sumą mnogościową trzech właściwych podgrup, to jest zarazem sumą mnogościową trzech właściwych podgrup normalnych.
    Dowód: Wspomniane w twierdzeniu Scorzy H 1 , {\displaystyle H_{1},} H 2 {\displaystyle H_{2}} oraz H 3 {\displaystyle H_{3}} w odwzorowaniu ilorazowym G Z 2 × Z 2 {\displaystyle G\to \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} są przeciwobrazami podgrup normalnych grupy Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} (izomorficznych z Z 2 ; {\displaystyle \mathbb {Z} _{2};} ich normalność wynika np. z przemienności, przy czym zachowuje się ona po wzięciu przeciwobrazu homomorficznego).
  18. Twierdzenie: Grupa skończona jest sumą mnogościową podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma iloraz izomorficzny z Z p × Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}} dla pewnej liczby pierwszej p . {\displaystyle p.}
    Twierdzenie: Jeżeli G {\displaystyle G} jest sumą mnogościową właściwych podgrup normalnych, to minimalna liczba tych podgrup wynosi p + 1 , {\displaystyle p+1,} gdzie p {\displaystyle p} jest najmniejszą liczbą pierwszą, dla której G {\displaystyle G} ma iloraz izomorficzny z Z p × Z p . {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}.}
  19. Niech σ ( G ) = n , {\displaystyle \sigma (G)=n,} gdy tylko G {\displaystyle G} jest sumą mnogościową n {\displaystyle n} podgrup właściwych, ale nie jest sumą jakiekolwiek mniejszej liczby podgrup właściwych.
    Twierdzenie Cohna (1994): Niech G {\displaystyle G} będzie grupą. Wówczas
    • σ ( G ) = 4 {\displaystyle \sigma (G)=4} wtedy i tylko wtedy, gdy σ ( G ) 3 , {\displaystyle \sigma (G)\neq 3,} zaś G {\displaystyle G} ma iloraz izomorficzny grupą symetryczną S 3 {\displaystyle S_{3}} lub Z 3 × Z 3 ; {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3};}
    • σ ( G ) = 5 {\displaystyle \sigma (G)=5} wtedy i tylko wtedy, gdy σ ( G ) { 3 , 4 } , {\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4\},} zaś G {\displaystyle G} ma iloraz izomorficzny grupą alternującą A 4 ; {\displaystyle A_{4};}
    • σ ( G ) = 6 {\displaystyle \sigma (G)=6} wtedy i tylko wtedy, gdy σ ( G ) { 3 , 4 , 5 } , {\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4,5\},} zaś G {\displaystyle G} ma iloraz izomorficzny grupą diedralną D 5 {\displaystyle D_{5}} lub Z 5 × Z 5 {\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{5}} bądź Z 4 Z 5 , {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\ltimes \mathbb {Z} _{5},} czyli grupą rzędu 20 o dwóch generatorach a , b {\displaystyle a,b} spełniających a 5 = b 4 = e {\displaystyle a^{5}=b^{4}=e} (gdzie e {\displaystyle e} jest elementem neutralnym), b a = a 2 b . {\displaystyle ba=a^{2}b.}
  20. Zgodnie z oznaczeniami użytymi w sformułowaniu twierdzenia Cohna:
    Twierdzenie Scorzy (1926): σ ( G ) = 3 {\displaystyle \sigma (G)=3} wtedy i tylko wtedy, gdy G {\displaystyle G} ma iloraz izomorficzny z Z 2 × Z 2 . {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}
    Twierdzenie Tomkinsona (1997): Nie istnieje G , {\displaystyle G,} dla której σ ( G ) = 7. {\displaystyle \sigma (G)=7.}
  21. Symbol σ ( G ) {\displaystyle \sigma (G)} oznacza liczbę pokryciową grupy G {\displaystyle G} będącą rozmiarem minimalnego pokrycia G , {\displaystyle G,} gdzie pokrycie (skończone) oznacza (skończoną) rodzinę podgrup właściwych G {\displaystyle G} dających w sumie G , {\displaystyle G,} minimalność pokrycia oznacza z kolei, że nie istnieje pokrycie danej grupy o mniejszej liczbie elementów.
    Twierdzenie B. H. Neumanna (1954): grupa jest sumą mnogościową skończenie wielu podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona skończony niecykliczny obraz homomorficzny.
    Twierdzenie Detomi–Lucchiniego (2008): Nie istnieje G , {\displaystyle G,} dla której σ ( G ) = 11. {\displaystyle \sigma (G)=11.}
    Twierdzenie Garonziego (2013): Nie istnieje G , {\displaystyle G,} dla której σ ( G ) { 19 , 21 , 22 , 25 } ; {\displaystyle \sigma (G)\in \{19,21,22,25\};} istnieją grupy G , {\displaystyle G,} dla których σ ( G ) 27 {\displaystyle \sigma (G)\leqslant 27} poza wymienionymi (w tym również w twierdzeniach Tomkinsona oraz Detomi i Lucchiniego).
  22. Na mocy kryterium bycia podgrupą: niech a , b C ( x ) , {\displaystyle a,b\in \mathrm {C} (x),} tzn. zachodzą równości a x = x a {\displaystyle ax=xa} oraz b x = x b , {\displaystyle bx=xb,} wtedy a b x = a x b = x a b , {\displaystyle abx=axb=xab,} czyli a b C ( x ) ; {\displaystyle ab\in \mathrm {C} (x);} do zbadania należenia do C ( x ) {\displaystyle C(x)} elementu odwrotnego do a C ( x ) {\displaystyle a\in C(x)} wystarczy rozpatrzeć równość x a = a x , {\displaystyle xa=ax,} z której wynika x = a x a 1 , {\displaystyle x=axa^{-1},} a z niej a 1 x = x a 1 . {\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1}.}
  23. Korzystając z kryterium bycia podgrupą: niech a , b Z ( G ) , {\displaystyle a,b\in \mathrm {Z} (G),} wtedy dla dowolnych x , y G {\displaystyle x,y\in G} zachodzą równości a x = x a {\displaystyle ax=xa} oraz b y = y b , {\displaystyle by=yb,} skąd można w szczególności dla dowolnego z G {\displaystyle z\in G} zapisać a b z = a z b = z a b , {\displaystyle abz=azb=zab,} czyli a b Z ( G ) ; {\displaystyle ab\in \mathrm {Z} (G);} z kolei jeżeli x a = a x , {\displaystyle xa=ax,} to x = a x a 1 , {\displaystyle x=axa^{-1},} skąd a 1 x = x a 1 , {\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1},} a więc a 1 Z ( G ) . {\displaystyle a^{-1}\in \mathrm {Z} (G).}
  24. W odróżnieniu od centrum Z ( G ) {\displaystyle \mathrm {Z} (G)} grupy G , {\displaystyle G,} w którym każdy element z Z ( G ) {\displaystyle z\in \mathrm {Z} (G)} z osobna jest przemienny z dowolnym elementem grupy a , {\displaystyle a,} tj. a z = z a , {\displaystyle az=za,} przemienność a H = H a {\displaystyle aH=Ha} podgrupy normalnej H {\displaystyle H} z dowolnym elementem a {\displaystyle a} grupy G {\displaystyle G} oznacza tylko tyle, iż dla dowolnego elementu h 1 H {\displaystyle h_{1}\in H} można znaleźć element h 2 H , {\displaystyle h_{2}\in H,} dla których zachodzi a h 1 = h 2 a . {\displaystyle ah_{1}=h_{2}a.}
  25. Wspomniane centrum i komutant są w istocie przykładami podgrup normalnych o jeszcze lepszych własnościach, tzw. podgrup charakterystycznych (charakterystyczność, w przeciwieństwie do normalności, jest własnością przechodnią).
  26. Bądź nieco ogólniej: wszystkich automorfizmów ustalonej skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej (tj. odwracalnych przekształceń liniowych tej przestrzeni na siebie).
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Tomkinsona" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy