Twierdzenie Vitaliego o pokryciu


Twierdzenie Vitalego o pokryciu w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Twierdzenie Vitaliego o pokryciu) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Vitalego o pokryciu – noszące nazwisko Giuseppe Vitalego jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu (obok twierdzenia Bezikowicza) pomocne przy badaniu własności miary Lebesgue’a na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, dzięki czemu jest z nich łatwiejsze w zrozumieniu i zastosowaniu.

Twierdzenie umożliwia mierzenie i teoretyczne „wypełnienie” dowolnego zbioru otwartego przeliczalnie wieloma rozłącznymi kulami domkniętymi o ograniczonym promieniu (z wykorzystaniem miary Lebesgue’a, twierdzenie Bezikowicza umożliwia podobną operację dla ogólniejszych miar Radona); jest także pomocne jako środek dowodowy dla nierówności dla operatora Hardy’ego-Littlewooda.

Sformułowanie „(pod)rodzina kul rozłącznych” oznacza, że rozłączne są dowolne dwie kule w danej (pod)rodzinie; innymi słowy rozpatrywane kule są zbiorami parami rozłącznymi.

Twierdzenie | edytuj kod

Na górze: rodzina kul; zielone kule tworzą rozłączną podrodzinę.
Na dole: podrodzina kul o trzykrotnie większych promieniach pokrywa wszystkie kule.  Zobacz też: pokrycie zbioruśrednica zbioru.

Niech B = B ( x , r ) {\displaystyle B=B(x,r)} oznacza kulę domkniętą w R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} zaś B ^ = B ( x , 5 r ) {\displaystyle {\hat {B}}=B(x,5r)} oznacza współśrodkową kulę domkniętą o promieniu pięciokrotnie większym od promienia B . {\displaystyle B.} Rodzinę F {\displaystyle {\mathcal {F}}} kul domkniętych w R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nazywa się pokryciem zbioru A R n , {\displaystyle A\subseteq R^{n},} jeżeli

A B F B . {\displaystyle A\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B.}
Teza

Niech F {\displaystyle {\mathcal {F}}} oznacza dowolną rodzinę niezdegenerowanych kul domkniętych w R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} przy czym

sup { diam B : B F } < + . {\displaystyle \sup {\big \{}\operatorname {diam} B\colon B\in {\mathcal {F}}{\big \}}<+\infty .}

Wówczas istnieje rodzina przeliczalna G {\displaystyle {\mathcal {G}}} rozłącznych kul w F , {\displaystyle {\mathcal {F}},} dla której

B F B B G B ^ . {\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {G}}}{\hat {B}}.}

Dowód | edytuj kod

Oznaczenia
Niech D := sup { diam B : B F } . {\displaystyle D:=\sup {\big \{}\operatorname {diam} B\colon B\in {\mathcal {F}}{\big \}}.} Ponadto F j := { B F : D 2 j < diam B D 2 j 1 } ( j = 1 , 2 , ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}:=\left\{B\in {\mathcal {F}}\colon {\tfrac {D}{2^{j}}}<\operatorname {diam} B\leqslant {\tfrac {D}{2^{j-1}}}\right\}\qquad (j=1,2,\dots ).} Zbiór G j F j {\displaystyle {\mathcal {G}}_{j}\subseteq {\mathcal {F}}_{j}} będzie określony indukcyjnie jak następuje:
  • niech G 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}} będzie maksymalną rodziną rozłączną kul w F 1 ; {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1};}
  • zakładając, że G 1 , , G k 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\dots ,{\mathcal {G}}_{k-1}} są już wskazane, rodzina G k {\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}} będzie dana jako dowolna maksymalna podrodzina rozłączna { B F k : B B =     dla wszystkich     B j = 1 k 1 G j } . {\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {F}}_{k}\colon B\cap B'=\varnothing \ \ {\text{dla wszystkich}}\ \ B'\in \textstyle \bigcup _{j=1}^{k-1}{\mathcal {G}}_{j}\right\}.}
Wreszcie G := j = 1 G j , {\displaystyle {\mathcal {G}}:=\textstyle \bigcup _{j=1}^{\infty }G_{j},} przy czym jest ona rodziną kul rozłącznych oraz G F . {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}.}

Przy podanych definicjach wystarczy wykazać następujące

Stwierdzenie
Dla każdej kuli B F {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}} istnieje kula B F , {\displaystyle B'\in {\mathcal {F}},} dla której B B = {\displaystyle B\cap B'=\varnothing } oraz B B ^ . {\displaystyle B\subseteq {\hat {B'}}.}
Dowód
Niech B F {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}} będzie ustalony. Istnieje wtedy wskaźnik j , {\displaystyle j,} dla którego B F j . {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{j}.} Z maksymalności G j {\displaystyle {\mathcal {G}}_{j}} istnieje kula B k = 1 j G k , {\displaystyle B'\in \textstyle \bigcup _{k=1}^{j}{\mathcal {G}}_{k},} dla której B B = . {\displaystyle B\cap B'=\varnothing .} Jednakże diam B D 2 j {\displaystyle \operatorname {diam} B'\geqslant {\tfrac {D}{2^{j}}}} oraz diam B D 2 j 1 ; {\displaystyle \operatorname {diam} B\leqslant {\tfrac {D}{2^{j-1}}};} stąd zaś diam B 2 diam B . {\displaystyle \operatorname {diam} B\leqslant 2\operatorname {diam} B'.} Zatem B B ^ . {\displaystyle B\subseteq {\hat {B'}}.}
Uwagi
  • Stała 5 {\displaystyle 5} w definicji B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} nie jest optymalna. Jeśli przy definiowaniu F {\displaystyle {\mathcal {F}}} zamiast 2 j {\displaystyle 2^{-j}} użyto by c j , {\displaystyle c^{-j},} dla c > 1 , {\displaystyle c>1,} to wartość 5 {\displaystyle 5} można by zastąpić przez 1 + 2 c . {\displaystyle 1+2c.} Każda stała ściśle większa od 3 {\displaystyle 3} daje poprawne sformułowanie twierdzenia.
  • W najogólniejszym przypadku przestrzeni metrycznych wybór maksymalnej podrodziny rozłącznej wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna.
  • Nie istnieje systematyczny sposób kontrolowania μ ( B ^ ) {\displaystyle \mu ({\hat {B}})} za pomocą μ ( B ) {\displaystyle \mu (B)} w przypadku, gdy μ {\displaystyle \mu } jest ogólną miarą Radona na R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} Przez to twierdzenie Vitalego o pokryciu nie jest aż tak pomocne przy badaniu tego rodzaju miar; twierdzenie Bezikowicza jest twierdzeniem o pokryciu, które nie wymaga powiększania kul za cenę ich rozłączności (przy zachowaniu kontroli nad stopniem ich nakładania).
  • Założenie o ograniczeniu średnicy (promienia) kuli jest niezbędne: w przypadku rodziny wszystkich kul o środku w początku R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dowolna rozłączna podrodzina składa się wyłącznie z jednej kuli B , {\displaystyle B,} jednakże B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} nie zawiera wszystkich kul tej rodziny.

Literatura | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Vitaliego o pokryciu" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy