Twierdzenie o ideale pierwszym


Twierdzenie o ideale pierwszym w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych.

Twierdzenie | edytuj kod

Twierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole’a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych:

Niech K = ( K , + , ) {\displaystyle {\mathcal {K}}=(K,+,\cdot )} będzie kratą rozdzielną. Jeśli F K {\displaystyle F\subseteq K} jest filtrem i a K F , {\displaystyle a\in K\setminus F,} to istnieje ideał pierwszy C {\displaystyle C} rozłączny z F {\displaystyle F} i zawierający a . {\displaystyle a.} Diagram Hassego kraty M3, w której żaden ideał nie jest pierwszy

Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie M 3 , {\displaystyle M_{3},} potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.

Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean prime ideal theorem), które brzmi następująco:

W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał pierwszy.

Ponieważ dualizacja algebry Boole’a jest algebrą Boole’a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI:

  • W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole’a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się).
  • W algebrze Boole’a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr – inna nazwa filtru maksymalnego).

Dowód (z wykorzystaniem lematu Kuratowskiego-Zorna) | edytuj kod

Niech K , F  i  a {\displaystyle {\mathcal {K}},F{\mbox{ i }}a} będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej

F = { C K : a C , C F = , C  – ideał } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{C\subseteq K:\,a\in C,\;C\cap F=\varnothing ,\;C{\mbox{ – ideał}}\,\}}

Jak łatwo sprawdzić, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny C . {\displaystyle C.} Jest on ideałem rozłącznym z F {\displaystyle F} zawierającym a . {\displaystyle a.} Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych c , d K {\displaystyle c,d\in K} zachodzi c d C , c , d C . {\displaystyle c\cdot d\in C,\;c,d\not \in C.} Niech teraz C c  i  C d {\displaystyle C_{c}{\mbox{ i }}C_{d}} będą minimalnymi ideałami zawierającymi C { c } {\displaystyle C\cup \{c\}} i C { d } , {\displaystyle C\cup \{d\},} odpowiednio. Wówczas, C c , C d F , {\displaystyle C_{c},\;C_{d}\,\not \in {\mathcal {F}},} skąd F C c , F C d . {\displaystyle F\cap C_{c},\,F\cap C_{d}\neq \varnothing .} Niech zatem f c , f d F {\displaystyle f_{c},f_{d}\in F} będą takie, że f c F C c {\displaystyle f_{c}\in F\cap C_{c}} i f d F C d . {\displaystyle f_{d}\in F\cap C_{d}.} Istnieją wówczas takie x c , x d C , {\displaystyle x_{c},x_{d}\in C,} że f c x c + c {\displaystyle f_{c}\leqslant x_{c}+c} i f d x d + d . {\displaystyle f_{d}\leqslant x_{d}+d.} Wówczas jednak f = f c f d x c + c , x d + d ( x c + x d ) + c , ( x c + x d ) + d , {\displaystyle f=f_{c}\cdot f_{d}\leqslant x_{c}+c,\,x_{d}+d\leqslant (x_{c}+x_{d})+c,\,(x_{c}+x_{d})+d,} skąd

f ( x c + x d ) + c ( x c + x d ) + d = ( x c + x d ) + c d C , {\displaystyle f\leqslant [(x_{c}+x_{d})+c]\cdot [(x_{c}+x_{d})+d]=[(x_{c}+x_{d})+c\cdot d]\in C,}

co oznacza, iż f C F {\displaystyle f\in C\cap F} przecząc wyborowi C . {\displaystyle C.} Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.

Dowód (z wykorzystaniem twierdzenia o zwartości) | edytuj kod

Dla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

Niech zatem K {\displaystyle {\mathcal {K}}} będzie kratą nieskończoną i niech L K {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathcal {K}}} będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem { p x : x K } {\displaystyle \{\mathbf {p} _{x}\colon x\in K\}} jako zbiorem zmiennych zdaniowych.

Rozważmy następujący zbiór X {\displaystyle X} formuł zdaniowych w tym języku:

C p x p y , x y {\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y},\,x\geqslant y} C K p x p y p x + y {\displaystyle \mathbf {CK} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y}\mathbf {p} _{x+y}} C p x y A p x p y {\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {p} _{x\cdot y}\mathbf {A} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y}} N p x , x F {\displaystyle \mathbf {N} \mathbf {p} _{x},\,x\in F} p a {\displaystyle \mathbf {p} _{a}}

gdzie x , y K . {\displaystyle x,y\in K.}

Niech teraz X 0 {\displaystyle X_{0}} będzie skończonym podzbiorem zbioru X . {\displaystyle X.} Możemy założyć, że p a X 0 . {\displaystyle \mathbf {p} _{a}\in X_{0}.} Niech dalej K 0 {\displaystyle K_{0}} będzie zbiorem tych elementów x {\displaystyle x} zbioru K , {\displaystyle K,} dla których p x {\displaystyle \mathbf {p} _{x}} występuje w X 0 . {\displaystyle X_{0}.} Wówczas podkrata K 0 {\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}} wyznaczona przez zbiór K 0 , {\displaystyle K_{0},} będąc skończenie generowaną kratą rozdzielną, jest skończona. Niech dalej F 0 {\displaystyle F_{0}} będzie filtrem wyznaczonym przez F K 0 {\displaystyle F\cap K_{0}} w kracie K 0 . {\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}.} a F 0 . {\displaystyle a\not \in F_{0}.} Istnieje więc ideał pierwszy C 0 {\displaystyle C_{0}} kraty K 0 , {\displaystyle {\mathcal {K}}_{0},} który jest rozłączny z F 0 {\displaystyle F_{0}} i zawiera a . {\displaystyle a.} Niech teraz v 0 ( p x ) = 1 x C 0 . {\displaystyle v_{0}(\mathbf {p} _{x})=1\;\Leftrightarrow \;x\in C_{0}.} Nietrudno wykazać, że v 0 {\displaystyle v_{0}} spełnia wszystkie formuły ze zbioru X 0 . {\displaystyle X_{0}.} Wobec dowolności zbioru X 0 , {\displaystyle X_{0},} oznacza to, że każdy skończony podzbiór zbioru X {\displaystyle X} jest spełnialny. Niech zatem v {\displaystyle v} spełnia wszystkie formuły zbioru X . {\displaystyle X.} Wówczas C = { a : v ( p a ) = 1 } {\displaystyle C=\{a\colon v(\mathbf {p} _{a})=1\,\}} jest szukanym ideałem pierwszym kraty K . {\displaystyle {\mathcal {K}}.}

Uwagi i wnioski | edytuj kod

Dowód twierdzenia o ideale pierwszym zaliczany jest do tzw. dowodów niekonstruktywnych, czyli, w uproszczeniu, wykorzystujących pewne formy aksjomatu wyboru (AC). W tym wypadku, w dowodzie najczęściej korzysta się z lematu Kuratowskiego-Zorna. Chociaż na gruncie teorii mnogości Zermela-Fraenkla BPI jest słabsze od pewnika wyboru (tzn. w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.

Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić:

Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Krejna-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny „BPI + twierdzenie Krejna-Milmana”[5].

Przypisy | edytuj kod

  1. Horst Herlich. The Ascoli theorem is equivalent to the Boolean prime ideal theorem. „Rostock. Math. Kolloq.”. 51, s. 137–140, 1997. 
  2. Matthew Foreman, Friedrich Wehrung. The Hahn-Banach Theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set. „Fundamenta Mathematicae”. 128 (1), s. 13–19, 1991. 
  3. Janusz Pawlikowski. The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae”. 138, s. 21–22, 1991. 
  4. Y.T. Rhineghost. The boolean prime ideal theorem holds iff maximal open filters exist. „Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques”. 43 (4), s. 313–315, 1992. 
  5. John Bell, David Fremlin. A geometric form of the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”. 77, s. 167–170, 1972. 

Bibliografia | edytuj kod

  • Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie o ideale pierwszym" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy