Twierdzenie o oddzielaniu

Twierdzenie o oddzielaniu w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenia o oddzielaniu – twierdzenia w analizie funkcjonalnej mówiące o oddzielaniu podzbiorów przestrzeni liniowo-topologicznych poprzez ciągłe funkcjonały liniowe.

Twierdzenie | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} będą wypukłe, niepuste i rozłączne.

  • Jeżeli A {\displaystyle A} jest zbiorem otwartym, to istnieją x ⋆ ∈ X ⋆ {\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }} oraz liczba rzeczywista α {\displaystyle \alpha } takie, że
Re x ⋆ x < α ⩽ Re x ⋆ y {\displaystyle \operatorname {Re} \,x^{\star }x<\alpha \leqslant \operatorname {Re} \,x^{\star }y} dla wszystkich x ∈ A {\displaystyle x\in A} oraz y ∈ B . {\displaystyle y\in B.}
  • Jeżeli X {\displaystyle X} jest przestrzenią lokalnie wypukłą, A {\displaystyle A} jest zbiorem zwartym oraz B {\displaystyle B} jest zbiorem domkniętym, to istnieją x ⋆ ∈ X ⋆ {\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }} oraz liczby rzeczywiste α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } takie, że
Re x ⋆ x < α < β ⩽ Re x ⋆ y {\displaystyle \operatorname {Re} \,x^{\star }x<\alpha <\beta \leqslant \operatorname {Re} \,x^{\star }y} dla wszystkich x ∈ A {\displaystyle x\in A} oraz y ∈ B . {\displaystyle y\in B.}

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeżeli X {\displaystyle X} jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną, to dla każdego x ∈ X ∖ { 0 } {\displaystyle x\in X\setminus \{0\}} istnieje x ⋆ ∈ X ⋆ {\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }} taki, że x ⋆ x ≠ 0. {\displaystyle x^{\star }x\neq 0.}

Inne twierdzenia o oddzielaniu | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a Y {\displaystyle Y} jej podprzestrzenią.

  • Dla każdego x ∈ X ∖ cl ⁡ Y {\displaystyle x\in X\setminus \operatorname {cl} Y} istnieje x ⋆ ∈ X ⋆ {\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }} taki, że x ⋆ x = 1 {\displaystyle x^{\star }x=1} oraz Y ⊆ ( x ⋆ ) − 1 ( { 0 } ) . {\displaystyle Y\subseteq (x^{\star })^{-1}(\{0\}).}
  • ⋀ x ∈ X ( ⋀ x ⋆ ∈ X ⋆ ( x ⋆ | Y = 0 ⇒ x ⋆ x = 0 ) ⇒ x ∈ cl ⁡ Y ) {\displaystyle \bigwedge _{x\in X}\left(\bigwedge _{x^{\star }\in X^{\star }}(x^{\star }|_{Y}=0\Rightarrow x^{\star }x=0)\Rightarrow x\in \operatorname {cl} Y\right)}
  • ⋀ y ⋆ ∈ Y ⋆ ⋁ x ⋆ ∈ X ⋆ x ⋆ | Y = y ⋆ {\displaystyle \bigwedge _{y^{\star }\in Y^{\star }}\bigvee _{x^{\star }\in X^{\star }}x^{\star }|_{Y}=y^{\star }}
  • Jeżeli F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X} jest podzbiorem domkniętym, wypukłym, zbalansowanym i niepustym, to dla każdego x 0 ∈ X ∖ F {\displaystyle x_{0}\in X\setminus F} istnieje x ⋆ ∈ X ⋆ {\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }} takie, że x ⋆ x > 1 {\displaystyle x^{\star }x>1} oraz | x ⋆ x | ⩽ 1 {\displaystyle |x^{\star }x|\leqslant 1} dla każdego x ∈ F . {\displaystyle x\in F.}
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie o oddzielaniu" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy