Twierdzenie o rzędzie


Twierdzenie o rzędzie w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Twierdzenie o rzędzietwierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie | edytuj kod

 Zobacz też: przestrzeń liniowa, przekształcenie liniowe, baza oraz wymiarrząd.

Niech A : V W {\displaystyle \mathrm {A} \colon V\to W} będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi V , W . {\displaystyle V,W.} Wówczas zachodzi równość

dim d o m A = dim ker A + dim i m A , {\displaystyle \dim \mathrm {dom\;A} =\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} ,}

co oznacza się również

dim V = n u l l A + r a n k A , {\displaystyle \dim V=\mathrm {null\;A} +\mathrm {rank\;A} ,}

gdzie dim {\displaystyle \dim } oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a d o m ,   ker ,   i m {\displaystyle \mathrm {dom} ,\ \ker ,\ \mathrm {im} } oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś n u l l ,   r a n k , {\displaystyle \mathrm {null} ,\ \mathrm {rank} ,} nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.

Jeżeli A {\displaystyle \mathbf {A} } jest macierzą typu m × n , {\displaystyle m\times n,} czyli o m {\displaystyle m} wierszach i n {\displaystyle n} kolumnach, to

n = n u l l A + r a n k A , {\displaystyle n=\mathrm {null} \;\mathbf {A} +\mathrm {rank} \;\mathbf {A} ,}

gdzie n u l l {\displaystyle \mathrm {null} } i r a n k {\displaystyle \mathrm {rank} } oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.

Dowód | edytuj kod

 Zobacz też: suma prosta przestrzeni liniowych, zbiór generującyliniowa niezależność.

Niech U {\displaystyle U} oznacza podprzestrzeń przestrzeni V {\displaystyle V} spełniającą V = ker A U , {\displaystyle V=\ker \mathrm {A} \oplus U,} a układ b 1 , , b k {\displaystyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}} będzie bazą U {\displaystyle U} (tj. wraz z bazą ker A {\displaystyle \ker \mathrm {A} } tworzy ona bazę V {\displaystyle V} ). Wówczas układ A ( b 1 ) , , A ( b k ) {\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})} jest bazą i m A . {\displaystyle \mathrm {im\;A} .}

Generowanie
Niech w i m A , {\displaystyle \mathbf {w} \in \mathrm {im\;A} ,} wtedy w = A ( v ) {\displaystyle \mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )} dla pewnego v , {\displaystyle \mathbf {v} ,} który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci v = x + y , {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} +\mathbf {y} ,} gdzie x ker A {\displaystyle \mathbf {x} \in \ker \mathrm {A} } oraz y U , {\displaystyle \mathbf {y} \in U,} który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako y = y 1 b 1 + + y k b k {\displaystyle \mathbf {y} =y_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +y_{k}\mathbf {b} _{k}} dla pewnych skalarów y 1 , , y k . {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k}.} Stąd w = A ( v ) = A ( x + y ) = A ( x ) + A ( y ) = 0 + A ( y 1 b 1 + + y k b k ) = y 1 A ( b 1 ) + + y k A ( b k ) , {\displaystyle \mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} )+\mathrm {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} +\mathrm {A} (y_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +y_{k}\mathbf {b} _{k})=y_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\dots +y_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}),} co wobec dowolności w {\displaystyle \mathbf {w} } oznacza, że układ A ( b 1 ) , , A ( b k ) {\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})} rozpina i m A . {\displaystyle \mathrm {im\;A} .}
Liniowa niezależność
Niech c 1 A ( b 1 ) + + c k A ( b k ) = 0 , {\displaystyle c_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\dots +c_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})=\mathbf {0} ,} wtedy A ( c 1 b 1 + + c k b k ) = 0 , {\displaystyle \mathrm {A} (c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k})=0,} czyli c 1 b 1 + + c k b k {\displaystyle c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k}} należy równocześnie do U {\displaystyle U} (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do ker A {\displaystyle \ker \mathrm {A} } (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to c 1 b 1 + + c k b k = 0 , {\displaystyle c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k}=\mathbf {0} ,} czyli c 1 , , c k = 0 {\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}=0} (na mocy liniowej niezależności bazy b 1 , , b k {\displaystyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}} ), co dowodzi liniowej niezależności A ( b 1 ) , , A ( b k ) . {\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}).}

Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż dim U = dim i m A = r a n k A {\displaystyle \dim U=\dim \mathrm {im\;A} =\mathrm {rank\;A} } i własności wymiaru dla sumy prostej.

Przypadek nieskończeniewymiarowy
Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli dim U = , {\displaystyle \dim U=\infty ,} to układ b 1 , , b k {\displaystyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}} wystarczy zastąpić dowolną bazą ( b i ) i I {\displaystyle (\mathbf {b} _{i})_{i\in I}} przestrzeni U ; {\displaystyle U;} jeśli dim V = , {\displaystyle \dim V=\infty ,} to twierdzenie to mówi, że przestrzenie ker A {\displaystyle \ker \mathrm {A} } oraz i m A {\displaystyle \mathrm {im\;A} } nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.

Wnioski | edytuj kod

 Zobacz też: izomorifzm, epimorfizm, monomorfizm liniowe.

Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:

  • izomorfizm liniowy V W {\displaystyle V\to W} przeprowadza dowolną bazę V {\displaystyle V} na bazę W , {\displaystyle W,} gdyż wtedy dim V = dim ker A + dim i m A = dim { 0 } + dim W = dim W ; {\displaystyle \dim V=\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} =\dim\{\mathbf {0} \}+\dim W=\dim W;}
  • ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
  • jeśli dla przekształcenia liniowego A : V W {\displaystyle \mathrm {A} \colon V\to W} jest dim V = dim W < , {\displaystyle \dim V=\dim W<\infty ,} to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności: ker A = { 0 } n u l l A = 0 r a n k A = dim V r a n k A = dim W i m A = W . {\displaystyle \ker \mathrm {A} =\{\mathbf {0} \}\Leftrightarrow \mathrm {null\;A} =0\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim V\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim W\Leftrightarrow \mathrm {im\;A} =W.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie o rzędzie" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy