Ułamek


Ułamek w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania W tych przegródkach znajduje się 7 gołębi. Jeden gołąb to jedna część z siedmiu – jedna siódma stadka, czyli nieco więcej niż 14% wszystkich. Ciasto dzielimy na cztery równe części. Jedna część to ¼, czyli 25% całego ciasta – jeśli dodamy wszystkie cztery kawałki, uzyskamy całe ciasto.

Ułamek – wyrażenie postaci a b , {\displaystyle {\tfrac {a}{b}},} gdzie a , {\displaystyle a,} nazywane licznikiem, oraz b , {\displaystyle b,} nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz a 0 {\displaystyle {\tfrac {a}{0}}} jest nieokreślony.

Spis treści

Liczby wymierne | edytuj kod

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. 1 + 2 3 {\displaystyle 1+{\tfrac {2}{3}}} staje się 1 2 3 . {\displaystyle 1{\tfrac {2}{3}}.}

Działania na ułamkach | edytuj kod

Dla każdego c 0 {\displaystyle c\neq 0} ułamek a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} jest równy a c b c . {\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}.} Operację zamiany a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} na a c b c {\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}} nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

a b c d = a c b d , {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}},\quad {}} na przykład: 2 9 4 5 = 8 45 {\displaystyle {\frac {2}{9}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {8}{45}}} a b : c d = a d b c . {\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}.}

Przedstawienie liczby k {\displaystyle k} w postaci ułamka k 1 {\displaystyle {\tfrac {k}{1}}} prowadzi do wzorów:

a b k = a k b , {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot k={\frac {ak}{b}},} a b : k = a b k . {\displaystyle {\frac {a}{b}}:k={\frac {a}{bk}}.}

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

a m + b m = a + b m , a m b m = a b m . {\displaystyle {\frac {a}{m}}+{\frac {b}{m}}={\frac {a+b}{m}},\qquad {\frac {a}{m}}-{\frac {b}{m}}={\frac {a-b}{m}}.}

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

a b + c d = a d + b c b d , a b c d = a d b c b d . {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}},\qquad {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}

Liczba b d {\displaystyle bd} może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb b {\displaystyle b} i d . {\displaystyle d.}

Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:

450 3150 = 450 : 50 3150 : 50 = 9 63 = 9 : 9 63 : 9 = 1 7 {\displaystyle {\frac {450}{3150}}={\frac {450:50}{3150:50}}={\frac {9}{63}}={\frac {9:9}{63:9}}={\frac {1}{7}}}

Wzór:

a b = a : c b : c = d e = d : f e : f = g h {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}}={\frac {d:f}{e:f}}={\frac {g}{h}}} lub można skrócić na a b = a : c b : c = d e , {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}},} gdzie b 0 , {\displaystyle b\neq 0,} c 0 , {\displaystyle c\neq 0,} e 0 , {\displaystyle e\neq 0,} f 0 {\displaystyle f\neq 0} oraz h 0. {\displaystyle h\neq 0.}

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 0) lub ma postać 1 a , {\displaystyle {\frac {1}{a}},} gdzie a 0. {\displaystyle a\neq 0.}

Przykład: Ułamek 9 40 {\displaystyle {\frac {9}{40}}} jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.

Wyrażenia wymierne | edytuj kod

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamków | edytuj kod

 Osobny artykuł: ciało ułamków.

Dla każdego pierścienia całkowitego P {\displaystyle P} (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.

Istotność założenia całkowitości pierścienia | edytuj kod

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli x y = 0 {\displaystyle xy=0} dla niezerowych x , y P , {\displaystyle x,y\in P,} to

1 , 1 x , x = x , 1 1 , x x y , y 1 , x = 0 , y 1 , x 0 , 1 1 , x = 0 , x 0 , 1 , {\displaystyle [1,1]\sim [x,x]=[x,1]\cdot [1,x]\sim [xy,y]\cdot [1,x]=[0,y]\cdot [1,x]\sim [0,1]\cdot [1,x]=[0,x]\sim [0,1],}

czyli

1 , 1 0 , 1 , {\displaystyle [1,1]\sim [0,1],}

stąd zaś dla dowolnego

a , b = a , b 1 , 1 a , b 0 , 1 = 0 , b 0 , 1 , {\displaystyle [a,b]=[a,b]\cdot [1,1]\sim [a,b]\cdot [0,1]=[0,b]\sim [0,1],}

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa 0 , 1 , {\displaystyle [0,1],} a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Typografia | edytuj kod

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. 3 / 4 ; {\displaystyle 3/4;} jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. 3 4 . {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}.}

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku, co przydatne jest w formatowaniu w systemach pisma CJK. Są to:

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (liczba wymierna):
Na podstawie artykułu: "Ułamek" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy