Ułamek łańcuchowy


Ułamek łańcuchowy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ułamek łańcuchowy (skończony) jest to wyrażenie postaci:

a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a k 2 + 1 a k 1 + 1 a k {\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\stackrel {\ddots }{\qquad a_{k-2}+{\cfrac {1}{a_{k-1}+{\cfrac {1}{a_{k}}}}}}}}}}}}}

gdzie a 0 {\displaystyle a_{0}} jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby a n {\displaystyle a_{n}} naturalne i większe od 0.

Zamiast notacji „piętrowej” najczęściej korzysta się z notacji „poziomej”, zapisując odpowiedni ułamek jako:

a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , , a k . {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{k}].}

Często wykorzystywana jest również notacja wprowadzona przez Pringsheima:

a 0 +   1 a 1   +   1 a 2   +   1 a 3   + . {\displaystyle a_{0}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{1}\ }}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{2}\ }}+{\frac {\ 1\mid }{\mid a_{3}\ }}+\cdots .}

Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):

a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , = lim k a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , , a k . {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=\lim _{k\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{k}].}

Jeżeli x jest wartością ułamka a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]} (skończonego lub nie), to a 0 ; a 1 , a 2 , , a n {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]} nazywamy n-tym reduktem liczby x.

Okazuje się, że każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego, przy czym liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone. Algorytm przedstawiania liczby x w postaci ułamka łańcuchowego można schematycznie zapisać następująco:

x = x ; 1 / ( x x ) , {\displaystyle x=[\lfloor x\rfloor ;1/(x-\lfloor x\rfloor )],}

gdzie x {\displaystyle \lfloor x\rfloor } oznacza część całkowitą liczby x. Innymi słowy: a 0 = x , {\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor ,} a dalej postępuj podobnie z 1 x x . {\displaystyle {\frac {1}{x-\lfloor x\rfloor }}.} W nieco bardziej sformalizowanej postaci:

  1. r = x , n = 0 {\displaystyle r=x,\,n=0}
  2. a n = r {\displaystyle a_{n}=\lfloor r\rfloor }
  3. JEŚLI r a n = 0 {\displaystyle r-a_{n}=0} STOP
  4. r = 1 / ( r a n ) , n = n + 1 {\displaystyle r=1/(r-a_{n}),\,n=n+1}
  5. PRZEJDŹ DO 2

Dla x = 2,35, otrzymujemy na przykład:

  • r = 2 , 35 = 47 20 {\displaystyle r=2{,}35={\frac {47}{20}}}
  • a 0 = r = 2 {\displaystyle a_{0}=\lfloor r\rfloor =2}
  • r = 1 47 20 2 = 20 7 {\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {47}{20}}-2}}={\frac {20}{7}}}
  • a 1 = r = 2 {\displaystyle a_{1}=\lfloor r\rfloor =2}
  • r = 1 20 7 2 = 7 6 {\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {20}{7}}-2}}={\frac {7}{6}}}
  • a 2 = r = 1 {\displaystyle a_{2}=\lfloor r\rfloor =1}
  • r = 1 7 6 1 = 6 {\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {7}{6}}-1}}=6}
  • a 3 = r = 6 {\displaystyle a_{3}=\lfloor r\rfloor =6}

Zatem:

2 , 35 = 2 + 1 2 + 1 1 + 1 6 = 2 ; 2 , 1 , 6 {\displaystyle 2{,}35=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6}}}}}}=[2;2,1,6]}

Dla p n , q n {\displaystyle p_{n},q_{n}} zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:

p 1 = 1 , q 1 = 0 , p 0 = a 0 , q 0 = 1 {\displaystyle p_{-1}=1,\,q_{-1}=0,\,p_{0}=a_{0},\,q_{0}=1} p k + 1 = a k + 1 p k + p k 1 {\displaystyle p_{k+1}=a_{k+1}p_{k}+p_{k-1}} q k + 1 = a k + 1 q k + q k 1 {\displaystyle q_{k+1}=a_{k+1}q_{k}+q_{k-1}}

zachodzi a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , , a n = p n q n . {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}]={\frac {p_{n}}{q_{n}}}.} Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.

Dla ułamków skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi

a 0 ; a 1 , a 2 , , a k + 1 = a 0 ; a 1 , a 2 , , a k , 1 , {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}+1]=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},1],}

czyli rozwinięcie nie jest jednoznaczne. Staje się jednoznaczne przy założeniu że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci a 0 ; a 1 , a 2 , , a k {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}]} gdzie a0 jest liczbą całkowitą, a 1 , , a k {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}} są liczbami naturalnymi, a k > 1. {\displaystyle a_{k}>1.}

Rozwinięcie liczby niewymiernej w ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.

Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli liczba wymierna p q , q N , q 0 {\displaystyle {\frac {p}{q}},q\in \mathbb {N} ,q\neq 0} jest lepszym przybliżeniem liczby x {\displaystyle x} niż redukt liczby x {\displaystyle x} przedstawiony w postaci ułamka nieskracalnego, to mianownik q {\displaystyle q} tej liczby jest większy od mianownika tego reduktu[1]. Ponadto redukty parzyste szacują liczbę od dołu, a nieparzyste od góry.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa: PWN, 1959, s. 249–250.

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Ułamek łańcuchowy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy