Ułamek dziesiętny nieskończony

Ułamek dziesiętny nieskończony w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ułamek dziesiętny nieskończony – zapis liczby rzeczywistej a {\displaystyle a} za pomocą szeregu liczbowego w postaci:

a = ± ( a 0 + a 1 10 + a 2 10 2 + a 3 10 3 + … ) , {\displaystyle a=\pm \left(a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3}}}+\dots \right),}

gdzie a 0 , a 1 , a 2 … {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\dots } są liczbami naturalnymi, przy czym 0 ⩽ a n ⩽ 9 {\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant 9} dla n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots }

Symbol „ ± {\displaystyle \pm } ” zastępuje się znakiem „ − {\displaystyle -} ”, gdy a {\displaystyle a} jest ujemne, w przeciwnym razie opcjonalnie pomija się go lub zastępuje się znakiem „ + {\displaystyle +} ”.

Zapis liczby dodatniej a {\displaystyle a} w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego nazywa się rozwinięciem dziesiętnym liczby a {\displaystyle a} i przedstawia się go jako:

a 0 , a 1 a 2 a 3 … . {\displaystyle a_{0}\,,\,a_{1}a_{2}a_{3}\dots .}

Tutaj a 1 , a 2 , a 3 … {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots } są cyframi rozwinięcia dziesiętnego, a przecinek (separator) oddziela część całkowitą (cechę) a 0 {\displaystyle a_{0}} liczby a {\displaystyle a} od jej mantysy.

Spis treści

Przykłady | edytuj kod

2 1 7 = 2,142 857142857142857142 … {\displaystyle 2{\frac {1}{7}}=2{,}142857142857142857142\dots } 1 = 1,000 0 ⋯ = 0,999 99 … {\displaystyle 1=1{,}0000\dots =0{,}99999\dots } (zobacz na temat liczby 0,99999...) − 3 8 = − 0,375 0000 ⋯ = − 0,374 9999 … {\displaystyle -{\frac {3}{8}}=-0{,}3750000\dots =-0{,}3749999\dots } 7 = 2,645 751311 … {\displaystyle {\sqrt {7}}=2{,}645751311\dots } π = 3,141 592653589793238462 … {\displaystyle \pi =3{,}141592653589793238462\dots } 1 41 99 = 1,414 141 … {\displaystyle 1{\frac {41}{99}}=1{,}414141\dots }

Własności | edytuj kod

Każdy ułamek dziesiętny nieskończony przedstawia liczbę rzeczywistą i odwrotnie, każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie liczby rzeczywistej w ułamek dziesiętny nieskończony jest jednoznaczne, z wyjątkiem sytuacji opisanych poniżej.

Jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby x ≠ 0 , {\displaystyle x\neq 0,} poczynając od pewnego miejsca, występuje tylko cyfra 0, to zmniejszając ostatnią niezerową cyfrę rozwinięcia o 1 i zastępując wszystkie następne cyfry 0 cyframi 9, otrzyma się inne przedstawienie liczby x {\displaystyle x} w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Podobnie, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby x , {\displaystyle x,} poczynając od pewnego miejsca, występuje wyłącznie cyfra 9, to zwiększając o 1 ostatnią cyfrę rozwinięcia różną od 9 i zastępując wszystkie następne cyfry 9 cyframi 0, otrzyma się inne przestawienie liczby x {\displaystyle x} w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie dziesiętne nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od 9. Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne normalne[1].

Algorytm rozwijania liczby w ułamek dziesiętny | edytuj kod

Poniższy algorytm pozwala wyznaczyć liczby a 0 , a 1 , a 2 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots } dla danej liczby rzeczywistej x . {\displaystyle x.}

Niech | z | {\displaystyle |z|} oznacza wartość bezwzględną, a z {\displaystyle [z]} część całkowitą liczby z . {\displaystyle z.}

  1. b 0 = | x | , a 0 = b 0 , {\displaystyle b_{0}=|x|,\quad a_{0}=[b_{0}],}
  2. b i = 10 ⋅ ( b i − 1 − a i − 1 ) , a i = b i dla  i ⩾ 1. {\displaystyle b_{i}=10\cdot (b_{i-1}-a_{i-1}),\quad a_{i}=[b_{i}]\quad {\mbox{dla }}i\geqslant 1.}

liczba a 0 {\displaystyle a_{0}} jest częścią całkowitą liczby |x|, liczby następne spełniają 0 ⩽ a i ⩽ 9 {\displaystyle 0\leqslant a_{i}\leqslant 9} i są kolejnymi cyframi rozwinięcia.

Dla liczby π {\displaystyle \pi } mamy:

  1. b 0 = π , a 0 = 3 , {\displaystyle b_{0}=\pi ,a_{0}=3,}
  2. b 1 = 1,415 92653589793238462 … , a 1 = 1 , {\displaystyle b_{1}=1{,}41592653589793238462\dots ,a_{1}=1,}
  3. b 2 = 4,159 2653589793238462 … , a 2 = 4 {\displaystyle b_{2}=4{,}1592653589793238462\dots ,a_{2}=4}

itd.

Ułamek dziesiętny skończony | edytuj kod

Jeżeli w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby x {\displaystyle x} od pewnego miejsca występuje wyłącznie cyfra 0 (patrz: uwaga wyżej), to na ogół zera te się opuszcza, otrzymując rozwinięcie dziesiętne skończone, a ułamek taki nazywa się ułamkiem dziesiętnym skończonym.

Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy x {\displaystyle x} jest liczbą wymierną x = p / q , {\displaystyle x=p/q,} przy czym q = 2 k ⋅ 5 l , {\displaystyle q=2^{k}\cdot 5^{l},} gdzie k {\displaystyle k} i l {\displaystyle l} są liczbami naturalnymi.

Na przykład: 17,29450000... = 17,2945 = 34589/2000 = 34589/(24 · 53).

Ułamek dziesiętny okresowy | edytuj kod

Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, ciąg kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest okresowy, to ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym. Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno „w nieskończoność”. Na przykład:

13,54545454… – od pierwszego miejsca po przecinku powtarza się blok „54”, 2,907645645645… – od czwartego miejsca po przecinku powtarza się blok „645”.

W Polsce zwykło się obejmować okres nawiasem

13,(54) 2,907(645)

natomiast w anglojęzycznej literaturze używa się nadkreślenia

13.54 2.907645

Ułamek dziesiętny skończony jest szczególnym przypadkiem ułamka dziesiętnego okresowego, gdyż można go uzupełnić nieskończonym ciągiem zer. Na przykład:

2,71 = 2,7100000… – od trzeciego miejsca po przecinku powtarza się blok „0”.

Zachodzi ważne twierdzenie:

Każdy ułamek okresowy (skończony lub nieskończony) przedstawia liczbę wymierną. Na odwrót, każda liczba wymierna ma przedstawienie okresowe – skończone albo nieskończone.

Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia liczbę niewymierną. Na przykład liczba 0,1234567891011121314… (wypisane kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest niewymierna.

Algorytm zamiany ułamka okresowego na zwykły | edytuj kod

Dana jest liczba u = 23,61709709709… Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:

  1. oblicz 100u = 2361,709709… – przesuń przecinek do początku okresu
  2. oblicz 100000u = 2361709,709709… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
  3. oblicz 100000u – 100u = 2361709,709709… – 2361,709709… = 2359348 = 99900u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
  4. wylicz u = 2359348/99900.

Kolejny przykład: u = 0,031313131…

  1. oblicz 10u = 0,313131… – przesuń przecinek do początku okresu
  2. oblicz 1000u = 31,313131… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
  3. oblicz 1000u – 10u = 31,313131… – 0,313131… = 31 = 990u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
  4. wylicz u = 31/990.

Rozwinięcia na ułamki o dowolnej podstawie | edytuj kod

Jeżeli g {\displaystyle g} jest liczbą naturalną i g > 1 , {\displaystyle g>1,} to każdą dodatnią liczbę rzeczywistą a {\displaystyle a} można analogicznie przedstawić za pomocą szeregu liczbowego[2]:

a = a 0 + a 1 g + a 2 g 2 + a 3 g 3 + … . {\displaystyle a=a_{0}+{\frac {a_{1}}{g}}+{\frac {a_{2}}{g^{2}}}+{\frac {a_{3}}{g^{3}}}+\dots .}

gdzie a 0 , a 1 , a 2 … {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\dots } są liczbami naturalnymi oraz 0 ⩽ a n ⩽ g − 1 {\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant g-1} dla n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots }

Liczby a 1 , a 2 , … {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots } nazywają się cyframi rozwinięcia danej liczby w systemie o podstawie g . {\displaystyle g.} Potocznie systemy takie określa się przymiotnikami pochodnymi od nazwy liczby g , {\displaystyle g,} na przykład: system dwójkowy albo binarny (o podstawie 2), ósemkowy albo oktalny (o podstawie 8), szesnastkowy albo heksadecymalny (o podstawie 16), dwudziestkowy (o podstawie 20), sześćdziesiątkowy (o podstawie 60) itp.

Rozwinięcie o podstawie g nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od g − 1. {\displaystyle g-1.} Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie normalne o danej podstawie.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948, s. 31–33.
  2. ↑ W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948, s. 27–36.

Bibliografia | edytuj kod

  • W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948.
  • G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1962.
Na podstawie artykułu: "Ułamek dziesiętny nieskończony" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy