Układ współrzędnych


Układ współrzędnych w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Prawoskrętny układ współrzędnych

Układ współrzędnychodwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przypisujące każdemu punktowi przestrzeni R n {\displaystyle R^{n}} skończony ciąg (n-krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu x R n {\displaystyle \mathbf {x} \in R^{n}} [1].

Do określenia układu współrzędnych potrzebne jest

  1. ustalenie punktu początkowego O {\displaystyle O} (O, ang. origin), tzw. początku układu,
  2. ustalenie bazy wektorów przestrzeni { e 1 , e 2 , , e n } , {\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}\},} za pomocą których można wyrazić wektory wodzące O P {\displaystyle {\vec {OP}}} punktów P {\displaystyle P} przestrzeni jako kombinacje liniowe wektorów bazy, tj. O P = a 1 e 1 + a 2 e 2 + + a n e n . {\displaystyle {\vec {OP}}=a_{1}{\vec {e}}_{1}+a_{2}{\vec {e}}_{2}+\dots +a_{n}{\vec {e}}_{n}.}

Współczynniki a 1 , a 2 , , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.

W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy oś liczbową.

Przykład osi liczbowej


Spis treści

Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni | edytuj kod

Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:

  1. dla przestrzeni 1-wymiarowej, np. prostej, okręgu, elipsy itp. wystarczy 1 współrzędna,
  2. dla przestrzeni 2-wymiarowej – płaszczyzny R 2 , {\displaystyle R^{2},} sfery (powierzchni kuli) itp. potrzebne są 2 współrzędne,
  3. dla przestrzeni 3-wymiarowej – przestrzeni R 3 , {\displaystyle R^{3},} kuli itp. potrzebne są 3 współrzędne,
  4. dla przestrzeni Euklidesowych n-wymiarowych potrzeba n współrzędnych,
  5. dla rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, lokalnie homeomorficznej z daną rozmaitością.

W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych, np.

  1. dla punktów okręgu wystarczy podać jedną współrzędną biegunową ϕ , {\displaystyle \phi ,}
  2. dla punktów sfery wystarczy podać dwie współrzędne sferyczne ϕ , θ , {\displaystyle \phi ,\theta ,}
  3. dla punktów kuli wystarczy podać trzy współrzędne prostokątne x , y , z {\displaystyle x,y,z} lub sferyczne r , ϕ , θ . {\displaystyle r,\phi ,\theta .}

Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu r {\displaystyle r} zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych x , y , z , {\displaystyle x,y,z,} przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność

x 2 + y 2 + z 2 = r 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}

Uogólnienia | edytuj kod

(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się

  • układy skośne, w których linie współrzędnych nie są wzajemnie prostopadłe,
  • układy krzywoliniowe, w których linie współrzędnych nie są liniami prostymi.

(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.

Rodzaje układów współrzędnych | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (układ odniesienia):
Na podstawie artykułu: "Układ współrzędnych" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy