Układ współrzędnych biegunowych


Układ współrzędnych biegunowych w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O {\displaystyle O} zwany biegunem oraz półprostą O S {\displaystyle OS} o początku w punkcie O {\displaystyle O} zwaną osią biegunową.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Każdemu punktowi P {\displaystyle P} płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje[1]:

  • promień wodzący punktu P {\displaystyle P} to jego odległość | O P | {\displaystyle |OP|} od bieguna,
  • amplituda punktu P {\displaystyle P} to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą O S {\displaystyle OS} a wektorem O P . {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O {\displaystyle O} są równe ( 0 , 0 ) . {\displaystyle (0,0).} O amplitudzie możemy zakładać, że 0 φ < 2 π {\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi } (niektórzy autorzy przyjmują π < φ π {\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi } ).

Rys historyczny | edytuj kod

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge’a[2] pierwszeństwo w używaniu tego układu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

  • Cavalieri[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym „obrotem”).
  • W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
  • W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobnej metody użył szkocki matematyk James Gregory.
  • Isaac Newton[4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
  • Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z układem kartezjańskim | edytuj kod

Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański O X Y {\displaystyle OXY} oraz układ biegunowy z biegunem O {\displaystyle O} i osią biegunową O X . {\displaystyle OX.}

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego | edytuj kod

Dla danego wektora wodzącego r 0 {\displaystyle r\geqslant 0} i amplitudy φ 0 , 2 π ) {\displaystyle \varphi \in [0,2\pi )} punktu P , {\displaystyle P,} jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami[5][6]:

x = r cos φ , {\displaystyle x=r\cdot \cos \varphi ,} y = r sin φ . {\displaystyle y=r\cdot \sin \varphi .}

Jakobian przejścia wynosi

D ( x , y ) D ( r , φ ) = | x r x φ y r y φ | = | cos φ r sin φ sin φ r cos φ | {\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{matrix}}\right|} = r ( cos 2 φ + sin 2 φ ) = r . {\displaystyle =r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.}

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego | edytuj kod

Rozważmy punkt o współrzędnych kartezjańskich ( x , y ) . {\displaystyle (x,y).} Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} [7][6].

Jeśli r 0 {\displaystyle r\neq 0} i x 0 , {\displaystyle x\neq 0,} to z definicji funkcji tangens:

tg φ = y x {\displaystyle \operatorname {tg} \,\varphi ={\tfrac {y}{x}}} [7],

zatem amplituda φ {\displaystyle \varphi } tego punktu jest dana wzorem:

φ = arctg ( y x ) {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})} [8]

(o ile dopuszczamy ujemne wartości φ {\displaystyle \varphi } ).

Natomiast aby otrzymać 0 φ < 2 π , {\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,} należy rozważyć następujące przypadki:

φ = { arctg ( y x ) , gdy  x > 0  oraz  y 0 arctg ( y x ) + 2 π , gdy  x > 0  oraz  y < 0 arctg ( y x ) + π , gdy  x < 0 π 2 , gdy  x = 0  oraz  y > 0 3 π 2 , gdy  x = 0  oraz  y < 0 , {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}}),&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y\geqslant 0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+2\pi ,&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y<0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+\pi ,&{\mbox{gdy }}x<0\\{\tfrac {\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y>0\\{\tfrac {3\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y<0\end{cases}},}

gdzie arctg {\displaystyle \operatorname {arctg} } oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów ( π , π ) {\displaystyle (-\pi ,\pi )} można ten zapis uprościć do

φ = arccos ( x r ) sgn ( y ) , {\displaystyle \varphi =\arccos({\tfrac {x}{r}})\;\operatorname {sgn}(y),}

gdzie sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowym | edytuj kod

Dla szeregu krzywych algebraicznych ich równania przedstawione w układzie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg | edytuj kod

Okrąg o równaniu r = 1 {\displaystyle r=1}

Okrąg o środku w punkcie ( r 0 , φ 0 ) {\displaystyle (r_{0},\varphi _{0})} i promieniu a > 0 {\displaystyle a>0} jest opisany przez równanie

r 2 2 r r 0 cos ( φ φ 0 ) + r 0 2 = a 2 . {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})+r_{0}^{2}=a^{2}.}

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

r = a . {\displaystyle r=a.}

Róża | edytuj kod

Róża o równaniu r = 2 sin ( 4 φ ) {\displaystyle r=2\sin(4\varphi )}

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

r = a cos ( k φ + φ 0 ) , {\displaystyle r=a\cos(k\varphi +\varphi _{0}),}

gdzie φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} jest dowolną stałą, a {\displaystyle a} jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a k {\displaystyle k} jest parametrem wyznaczającym ilość i formę „płatków” róży.

Jeśli k {\displaystyle k} jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała k {\displaystyle k} płatków, a jeśli k {\displaystyle k} jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała 2 k {\displaystyle 2k} płatków. Dla innych wartości k {\displaystyle k} kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa | edytuj kod

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu r = φ {\displaystyle r=\varphi } dla 0 < φ < 6 π {\displaystyle 0<\varphi <6\pi }

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

r = a + b φ . {\displaystyle r=a+b\varphi .}

Parametry a , b {\displaystyle a,b} w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana a {\displaystyle a} spowoduje obrócenie krzywej, a wartość b {\displaystyle b} wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta | edytuj kod

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

φ = φ 0 , {\displaystyle \varphi =\varphi _{0},}

gdzie φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

φ = φ 0 {\displaystyle \varphi =\varphi _{0}}

i przecina ją w punkcie ( r 0 , φ 0 ) , {\displaystyle (r_{0},\varphi _{0}),} zadana jest przez równanie

r = r 0 sec ( φ φ 0 ) . {\displaystyle r=r_{0}\sec(\varphi -\varphi _{0}).}

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji | edytuj kod

Tak jak w układzie kartezjańskim powierzchnię wykresu funkcji f {\displaystyle f} można podzielić na prostokąty o wymiarach f ( x ) × d x , {\displaystyle f(x)\times dx,} gdzie f ( x ) {\displaystyle f(x)} jest wartością funkcji dla argumentu x , {\displaystyle x,} zaś d x {\displaystyle dx} jest różniczką tegoż argumentu, można poprzez analogię w układzie współrzędnych biegunowych, podzielić powierzchnię wykresu funkcji r {\displaystyle r} na trójkąty równoramienne, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, drugie są częścią wykresu, zaś trzecie znajdują się obok drugich i jednocześnie w tej samej odległości od bieguna, co te drugie, przy czym długość obu ramion jest równa r ( φ ) , {\displaystyle r(\varphi ),} gdzie r ( φ ) {\displaystyle r(\varphi )} jest wartością funkcji dla argumentu φ , {\displaystyle \varphi ,} zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi d φ , {\displaystyle d\varphi ,} gdzie d φ 0 {\displaystyle d\varphi \to 0} jest różniczką tegoż argumentu. Skorzystamy tutaj z jednego ze wzorów na pole powierzchni trójkąta, które jest równe połowie iloczynu długości jego ramion i sinusa kąta zawartego między nimi. W naszym przypadku różniczka powierzchni d S {\displaystyle dS} będzie równa:

d S ( φ ) = 1 2 r ( φ ) r ( φ ) s i n ( d φ ) = 1 2 r 2 ( φ ) s i n ( d φ ) d φ d φ {\displaystyle dS(\varphi )={\frac {1}{2}}r(\varphi )r(\varphi )sin(d\varphi )={\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {sin(d\varphi )}{d\varphi }}\cdot d\varphi }

Ponieważ lim d φ 0 s i n ( d φ ) d φ = 1 , {\displaystyle \lim _{d\varphi \to 0}{\frac {sin(d\varphi )}{d\varphi }}=1,} otrzymujemy:

d S ( φ ) = 1 2 r 2 ( φ ) d φ . {\displaystyle dS(\varphi )={\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi .}

Tak więc pole powierzchni S {\displaystyle S} ograniczonej wykresem funkcji r {\displaystyle r} wyraża się wzorem:

S = α β d S ( φ ) = α β 1 2 r 2 ( φ ) d φ = 1 2 α β r 2 ( φ ) d φ . {\displaystyle S=\int _{\alpha }^{\beta }dS(\varphi )=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi ={\frac {1}{2}}\int _{\alpha }^{\beta }r^{2}(\varphi )d\varphi .}

Długość łuku wykresu funkcji | edytuj kod

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji r {\displaystyle r} można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami O {\displaystyle O} znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: P {\displaystyle P} i Q , {\displaystyle Q,} są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia | O P | {\displaystyle |OP|} wynosi r ( φ ) , {\displaystyle r(\varphi ),} drugiego | O Q | : {\displaystyle |OQ|{:}} r ( φ + d φ ) = r ( φ ) + d r ( φ ) {\displaystyle r(\varphi +d\varphi )=r(\varphi )+dr(\varphi )} dla argumentu φ , {\displaystyle \varphi ,} długość podstawy | P Q | {\displaystyle |PQ|} jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako d L , {\displaystyle dL,} zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami ( P O Q ) {\displaystyle (POQ)} wynosi d φ , {\displaystyle d\varphi ,} gdzie d φ 0 {\displaystyle d\varphi \to 0} jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu O Q {\displaystyle OQ} umieszczamy punkt R , {\displaystyle R,} który dzieli to ramię w ten sposób, że | O R | = | O P | = r ( φ ) , {\displaystyle |OR|=|OP|=r(\varphi ),} zaś | R Q | = d r ( φ ) . {\displaystyle |RQ|=dr(\varphi ).} W ten sposób podzieliliśmy trójkąt O P Q {\displaystyle OPQ} na 2 mniejsze: równoramienny O P R {\displaystyle OPR} (o podstawie P R {\displaystyle PR} ) i P Q R . {\displaystyle PQR.} Kąt O R P {\displaystyle ORP} oznaczmy jako γ , {\displaystyle \gamma ,} zaś kąt P R Q {\displaystyle PRQ} – jako δ . {\displaystyle \delta .} Kąty d φ {\displaystyle d\varphi } i γ {\displaystyle \gamma } znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa π : {\displaystyle \pi {:}}

2 γ + d φ = π , {\displaystyle 2\gamma +d\varphi =\pi ,} 2 γ = π d φ , {\displaystyle 2\gamma =\pi -d\varphi ,} γ = π d φ 2 . {\displaystyle \gamma ={\frac {\pi -d\varphi }{2}}.}

Ponieważ d φ 0 , {\displaystyle d\varphi \to 0,} więc:

γ π 2 . {\displaystyle \gamma \to {\frac {\pi }{2}}.}

Kąty γ {\displaystyle \gamma } i δ {\displaystyle \delta } są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa π : {\displaystyle \pi {:}}

γ + δ = π , {\displaystyle \gamma +\delta =\pi ,} δ = π γ = π π d φ 2 = π + d φ 2 . {\displaystyle \delta =\pi -\gamma =\pi -{\frac {\pi -d\varphi }{2}}={\frac {\pi +d\varphi }{2}}.}

Ponieważ d φ 0 , {\displaystyle d\varphi \to 0,} więc:

δ π 2 . {\displaystyle \delta \to {\frac {\pi }{2}}.}

Skoro więc kąt δ {\displaystyle \delta } znajduje się w trójkącie P Q R , {\displaystyle PQR,} to trójkąt ten można uznać za prostokątny, a skoro tworzą go boki P Q , {\displaystyle PQ,} P R {\displaystyle PR} i Q R , {\displaystyle QR,} to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

| P Q | 2 = | P R | 2 + | Q R | 2 , {\displaystyle |PQ|^{2}=|PR|^{2}+|QR|^{2},} d L 2 = | P R | 2 + d r 2 ( φ ) . {\displaystyle dL^{2}=|PR|^{2}+dr^{2}(\varphi ).}

Długość podstawy | P R | {\displaystyle |PR|} można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

| P R | 2 = r 2 ( φ ) + r 2 ( φ ) 2 r ( φ ) r ( φ ) c o s ( d φ ) = 2 r 2 ( φ ) 2 r 2 ( φ ) c o s ( d φ ) = 2 r 2 ( φ ) ( 1 c o s ( d φ ) ) . {\displaystyle |PR|^{2}=r^{2}(\varphi )+r^{2}(\varphi )-2r(\varphi )r(\varphi )cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )-2r^{2}(\varphi )cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )(1-cos(d\varphi )).}

Powyższe otrzymane wyrażenie podstawiamy do wcześniejszej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa:

d L 2 = 2 r 2 ( φ ) ( 1 c o s ( d φ ) ) + d r 2 ( φ ) = ( 2 r 2 ( φ ) 1 c o s ( d φ ) d φ 2 + ( d r ( φ ) d φ ) 2 ) d φ 2 = ( 2 r ( φ ) 2 1 c o s ( d φ ) d φ 2 + r ( φ ) 2 ) d φ 2 . {\displaystyle dL^{2}=2r^{2}(\varphi )(1-cos(d\varphi ))+dr^{2}(\varphi )=\left(2r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+\left({\frac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2}=\left(2r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+r'(\varphi )^{2}\right)d\varphi ^{2}.}

Ponieważ lim d φ 0 1 c o s ( d φ ) d φ 2 = 1 2 , {\displaystyle \lim _{d\varphi \to 0}{\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{2}},} otrzymujemy:

d L 2 = ( ( 2 r ( φ ) 2 1 2 + r ( φ ) 2 ) d φ 2 = ( r ( φ ) 2 + r ( φ ) 2 ) d φ 2 . {\displaystyle dL^{2}=\left(({\cancel {2}}r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1}{\cancel {2}}}+r'(\varphi )^{2}\right)d\varphi ^{2}=(r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2})d\varphi ^{2}.}

Tak więc różniczka łuku d L {\displaystyle dL} wykresu funkcji r {\displaystyle r} w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:

d L ( φ ) = r ( φ ) 2 + r ( φ ) 2 d φ . {\displaystyle dL(\varphi )={\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi .}

Długość łuku L {\displaystyle L} wykresu funkcji r {\displaystyle r} wyraża się wzorem:

L = α β d L ( φ ) = α β r ( φ ) 2 + r ( φ ) 2 d φ . {\displaystyle L=\int _{\alpha }^{\beta }dL(\varphi )=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi .}

Liczby zespolone | edytuj kod

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

z = x + i y {\displaystyle z=x+iy}

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej z : {\displaystyle z{:}}

z = r ( cos ( φ ) + i sin ( φ ) ) . {\displaystyle z=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )).}

(Powyżej, r {\displaystyle r} to moduł liczby z , {\displaystyle z,} a φ {\displaystyle \varphi } to jej argument).

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

z = r e i φ , {\displaystyle z=re^{i\varphi },}

gdzie e {\displaystyle e} to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

  • r 0 e i θ 0 r 1 e i θ 1 = r 0 r 1 e i ( θ 0 + θ 1 ) , {\displaystyle r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})},}
  • r 0 e i θ 0 r 1 e i θ 1 = r 0 r 1 e i ( θ 0 θ 1 ) , {\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})},}
  • ( r e i θ ) n = r n e i n θ . {\displaystyle (re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Franciszek Leja: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wyd. Naukowe, Warszawa 1976, strona 45.
  2. Julian Coolidge: The Origin of Polar Coordinates. „The American Mathematical Monthly” 59 (1952), s. 78–85.
  3. Bonaventura Cavalieri: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635.).
  4. Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671).
  5. Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 66, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  6. a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 13. Warszawa: PWN, 1996, s. 258. ISBN 83-01-11658-7.
  7. a b Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 67, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  8. Granino A. Korn, Theresa M. Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Wyd. 2. Mineola, New York: Dover Publications, 2000, s. 35. ISBN 0-486-41147-8.
Na podstawie artykułu: "Układ współrzędnych biegunowych" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy