Układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich w encyklopedii

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych mający dwie prostopadłe osie. Pewne cechy takiego układu ma też znana od czasów starożytnych szachownica oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora.

Spis treści

• 1 Pochodzenie nazwy
• 2 Definicja
• 3 Współrzędne
• 4 Ćwiartki i oktanty
• 5 Skrętność przestrzeni trójwymiarowej
• 6 Zobacz też
• 7 Przypisy

Pochodzenie nazwy | edytuj kod

Nazwa układu pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (René Descartes, franc. przymiotnik cartesien), który wprowadził tę ideę w 1637 w traktacie La Géométrie^[1]. Już wcześniej, w 1636 metody prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak tego nie opublikował, przez co pozostała nieznana. Kartezjusz opracował układ współrzędnych niezależnie, co wywołało spór o pierwszeństwo z Fermatem. Spór zakończył się ostatecznie pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług^[2].

Definicja | edytuj kod

Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą ${\displaystyle O}$ lub cyfrą ${\displaystyle 0.}$
• ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
  • ${\displaystyle X}$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
  • ${\displaystyle Y}$ (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Współrzędne | edytuj kod

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu ${\displaystyle P{:}}$

1. Tworzymy rzut prostokątny punktu ${\displaystyle P}$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez ${\displaystyle P}$ i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
2. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu ${\displaystyle P.}$

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

• ${\displaystyle x}$ – historyczna nazwa odcięta, łac. abscissa,
• ${\displaystyle y}$ – historyczna nazwa rzędna, łac. ordinata,
• ${\displaystyle z}$ – historyczna nazwa kota, łac. applicata.

Ćwiartki i oktanty | edytuj kod

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi^[3]. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (−,+), III (−,−) oraz IV (+,−), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami, zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,− na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem.

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej | edytuj kod

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi ${\displaystyle OX}$ do ${\displaystyle OY,}$ to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi ${\displaystyle OZ}$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też | edytuj kod

• algorytm Hirvonena
• przestrzeń kartezjańska
• układ współrzędnych

Przypisy | edytuj kod

1. ↑ Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode. Lejda: Jan Maire, 1637.
2. ↑ NeilN. Schlager NeilN., JoshJ. Lauer JoshJ. (red.), Science and Its Times. Understanding the Social Significance of Scientific Discovery, t. III. 1450-1699, Farmington Hills, MI: Gale Group, 2000, s. 242 .
3. ↑ Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.

Na podstawie artykułu: "Układ współrzędnych kartezjańskich" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy