Układ współrzędnych walcowych


Układ współrzędnych walcowych w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Walcowy układ współrzędnych

Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny układ współrzędnych) – układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Posługiwanie się układem cylindrycznym jest korzystne gdy trajektoria ruchu ma osiową (cylindryczną) symetrię[1].

Układ cylindryczny tworzony jest przez trzy wersory n ^ ρ , {\displaystyle {\hat {n}}_{\rho },} n ^ ϕ , {\displaystyle {\hat {n}}_{\phi },} n ^ z , {\displaystyle {\hat {n}}_{z},} które zmieniają swoją orientację w przestrzeni w zależności od ruchu punktu P {\displaystyle P} [2]. Każdy punkt P {\displaystyle P} przestrzeni zapisuje się w postaci trzech tzw. współrzędnych cylindrycznych ( ρ , ϕ , z ) , {\displaystyle (\rho ,\phi ,z),} gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco[3]:

ρ {\displaystyle \rho } – promień cylindra przeprowadzonego przez punkt P {\displaystyle P} [3], ϕ {\displaystyle \phi } – kąt między osią x {\displaystyle x} układu nieruchomego a płaszczyzną, w której znajduje się wektor wodzący r ( t ) {\displaystyle r(t)} i kierunek n ^ z {\displaystyle {\hat {n}}_{z}} [3], z {\displaystyle z} – wysokość (ta sama współrzędna jak dla układu nieruchomego)[3].

Można wyprowadzić wzór: r ( t ) = ρ n ^ ρ + z n ^ z {\displaystyle r(t)=\rho {\hat {n}}_{\rho }+z{\hat {n}}_{z}} [3].

Określenie prędkości następuje poprzez obliczenie pochodnej r : {\displaystyle r{:}} v ( t ) = d r d t = ρ ˙ n ^ ρ + ρ n ^ ˙ ρ + z ˙ n ^ ˙ z {\displaystyle v(t)={\frac {dr}{dt}}={\dot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+\rho {\dot {\hat {n}}}_{\rho }+{\dot {z}}{\dot {\hat {n}}}_{z}} [3] (gdzie ˙ {\displaystyle {\dot {}}} oznacza pierwszą pochodną względem czasu[2]). Wersor n ^ z {\displaystyle {\hat {n}}_{z}} nie zmienia swojej orientacji i dlatego n ^ z ˙ = 0 , {\displaystyle {\dot {{\hat {n}}_{z}}}=0,} co pozwala na pominięcie go w powyższym równaniu[3]. Wersor n ^ ˙ ρ {\displaystyle {\dot {\hat {n}}}_{\rho }} należy wyrazić poprzez niezmienne w czasie wersory n ^ x {\displaystyle {\hat {n}}_{x}} i n ^ y {\displaystyle {\hat {n}}_{y}} układu nieruchomego[3].

n ^ ρ = n ^ x cos ϕ + n ^ y sin ϕ {\displaystyle {\hat {n}}_{\rho }={\hat {n}}_{x}\cos \phi +{\hat {n}}_{y}\sin \phi } [3], n ^ ϕ = n ^ x sin ϕ + n ^ y cos ϕ {\displaystyle {\hat {n}}_{\phi }=-{\hat {n}}_{x}\sin \phi +{\hat {n}}_{y}\cos \phi } [3].

Zatem:

n ^ ρ ˙ = n ^ x sin ϕ ϕ ˙ + n ^ y cos ϕ ϕ ˙ = ϕ ˙ n ^ ϕ {\displaystyle {\dot {{\hat {n}}_{\rho }}}=-{\hat {n}}_{x}\sin \phi {\dot {\phi }}+{\hat {n}}_{y}\cos \phi {\dot {\phi }}={\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }} [3], n ^ ϕ ˙ = n ^ x cos ϕ ϕ ˙ n ^ y sin ϕ ϕ ˙ = ϕ ˙ n ^ ρ {\displaystyle {\dot {{\hat {n}}_{\phi }}}=-{\hat {n}}_{x}\cos \phi {\dot {\phi }}-{\hat {n}}_{y}\sin \phi {\dot {\phi }}=-{\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\rho }} [3].

Stąd prędkość:

v ( t ) = ρ ˙ n ^ ρ + ρ ϕ ˙ n ^ ϕ + z ˙ n ^ z {\displaystyle v(t)={\dot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+\rho {\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+{\dot {z}}{\hat {n}}_{z}} [3],

a jej długość:

| v | = ( ϕ ˙ ) 2 + ( ρ ϕ ˙ ) 2 + ( z ˙ ) 2 {\displaystyle |v|={\sqrt {({\dot {\phi }})^{2}+(\rho {\dot {\phi }})^{2}+({\dot {z}})^{2}}}} [3].

Przyspieszenie:

a ( t ) = d v d t = ρ ¨ n ^ ρ + ρ ˙ ϕ ˙ n ^ ϕ + ρ ϕ ¨ n ^ ϕ + ρ ϕ ˙ n ^ ˙ ϕ + z ¨ n ^ z = n ^ ρ ( ρ ¨ ρ ( ϕ ˙ ) 2 ) + n ^ ϕ ( 2 ρ ˙ ϕ ˙ + ρ ϕ ¨ ) + n ^ z z ¨ {\displaystyle a(t)={\frac {dv}{dt}}={\ddot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+\rho {\ddot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+\rho {\dot {\phi }}{\dot {\hat {n}}}_{\phi }+{\ddot {z}}{\hat {n}}_{z}={\hat {n}}_{\rho }({\ddot {\rho }}-\rho ({\dot {\phi }})^{2})+{\hat {n}}_{\phi }(2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}+\rho {\ddot {\phi }})+{\hat {n}}_{z}{\ddot {z}}} [3] | a | = ( ρ ¨ ρ ( ϕ ˙ ) 2 ) 2 + ( 2 ρ ˙ ϕ ˙ + ρ ϕ ¨ ) 2 + ( z ¨ ) 2 {\displaystyle |a|={\sqrt {({\ddot {\rho }}-\rho ({\dot {\phi }})^{2})^{2}+(2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}+\rho {\ddot {\phi }})^{2}+({\ddot {z}})^{2}}}} [1].

Przykład zastosowania | edytuj kod

Za pomocą współrzędnych cylindrycznych można bardzo łatwo opisać na przykład jednostajny ruch po okręgu[1]:

ρ = R = c o n s t {\displaystyle \rho =R=const} [1], ϕ = ω t , ω = c o n s t {\displaystyle \phi =\omega t,\omega =const} [1], z = 0 {\displaystyle z=0} [1]

oraz:

r ( t ) = R n ^ ρ {\displaystyle r(t)=R{\hat {n}}_{\rho }} [1], v ( t ) = ω R n ^ ϕ {\displaystyle v(t)=\omega R{\hat {n}}_{\phi }} [1], a ( t ) = ω 2 R n ^ ρ {\displaystyle a(t)=-\omega ^{2}R{\hat {n}}_{\rho }} [1].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d e f g h i Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych – kinematyka., [w:] LucjanL. Jacak LucjanL., Krótki wykład z fizyki ogólnej, Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1994, s. 10, ISBN 83-7085-222-X .
  2. a b Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych – kinematyka., [w:] LucjanL. Jacak LucjanL., Krótki wykład z fizyki ogólnej, Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1994, s. 8, ISBN 83-7085-222-X .
  3. a b c d e f g h i j k l m n o Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych – kinematyka., [w:] LucjanL. Jacak LucjanL., Krótki wykład z fizyki ogólnej, Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1994, s. 9, ISBN 83-7085-222-X .
Na podstawie artykułu: "Układ współrzędnych walcowych" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy