Własność Schura


Własność Schura w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Własność Schura – w analizie funkcjonalnej, przestrzeń Banacha X ma własność Schura, gdy każdy ciąg elementów przestrzeni X zbieżny w słabej topologii (słabo) jest zbieżny w topologii normy (mocno). Nazwa własności pochodzi od Issai Schura, który opublikował w 1921 dowód twierdzenia mówiącego, że przestrzeń ℓ1 ma tę własność[1] (zob. dowód).

Spis treści

Własności | edytuj kod

  • Każda przestrzeń o własności Schura jest słabo ciągowo zupełna. Istotnie, niech ( x n ) n = 1 {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} będzie słabym ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Banacha X, która ma własność Schura. Dla każdych dwóch ściśle rosnących ciągów liczb naturalnych ( n k ) k = 1 , ( m k ) k = 1 {\displaystyle (n_{k})_{k=1}^{\infty },(m_{k})_{k=1}^{\infty }} ciąg
( x n k x m k ) k = 1 {\displaystyle (x_{n_{k}}-x_{m_{k}})_{k=1}^{\infty }} jest słabo zbieżny do 0. Własność Schura implikuje, że lim k x n k x m k = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|x_{n_{k}}-x_{m_{k}}\|=0.} Oznacza to, że ciąg ( x n ) n = 1 {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Banacha X, a więc jest on zbieżny[2].

Związek z przestrzenią ℓ1 | edytuj kod

Prototypicznym przykładem przestrzeni mającej własność Schura jest przestrzeń ℓ1. Każda domknięta podrzestrzeń przestrzeni ℓ1 ma własność Schura, jednak nie każda (ośrodkowa) przestrzeń o własności Schura zanurza się izomorficznie w ℓ1. Stosowny przykład podprzestrzeni przestrzeni przestrzeni L1 o własności Schura, która nie zanurza się w ℓ1 podali Jean Bourgain oraz Haskell Rosenthal[5]. Bourgain podał przykład przestrzeni Banacha, której każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń zawiera izomorficzną kopię przestrzeni ℓ1, która mimo to nie ma własności Schura[6] (inne przykłady pochodzą od Azimiego i Haglera[7] oraz Popowa[8].

Przypisy | edytuj kod

  1. I. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151 (1920), 79-111.
  2. Albiac i Kalton 2006 ↓, s. 38.
  3. Morrison 2001 ↓, s. 259.
  4. Lin 2004 ↓, s. 60.
  5. J. Bourgain, H. P. Rosenthal, Martingales valued in certain subspaces of L1, Isr. J. Math. 37 (1-2) (1980), 54–75.
  6. J. Bourgain, ℓ1-subspaces of Banach spaces. Lecture notes. Free University of Brussels.
  7. P. Azimi, J. N. Hagler, Examples of hereditarily ℓ1 Banach spaces failing the Schur property, Pacif. J. Math. 122 (2)(1986), 287–297.
  8. M. M. Popov, A hereditary ℓ1-subspace of L1 without the Schur property, Proc. Amer. Math. Soc. 133, 7 (2005), 2023–2028.

Bibliografia | edytuj kod

  1. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
  2. Pei-Kee Lin: Köthe-Bochner Function Spaces. Birkhäuser Basel, 2004. ISBN 978-0-8176-3521-3.
  3. Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
Na podstawie artykułu: "Własność Schura" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy