Wartość oczekiwana


Wartość oczekiwana w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Jeżeli X {\displaystyle X} jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} o wartościach w R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} to wartością oczekiwaną zmiennej losowej X {\displaystyle X} nazywa się liczbę

E X := Ω X d P {\displaystyle \mathbb {E} X:=\int \limits _{\Omega }Xd\mathbb {P} } [1] o ile ona istnieje, tzn. jeżeli: E | X | = Ω | X | d P < + {\displaystyle \mathbb {E} |X|=\int \limits _{\Omega }|X|d\mathbb {P} <+\infty } [2].

Zmienna dyskretna | edytuj kod

W przypadku, gdy zmienna losowa X {\displaystyle X} ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości x 1 , x 2 , , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio p 1 , p 2 , , p n , {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n},} to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną E X {\displaystyle \mathbb {E} X}

E X = i = 1 n x i p i {\displaystyle \mathbb {E} X=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}} [3].

Jeżeli zmienna X {\displaystyle X} przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje {\displaystyle \infty } w miejsce n {\displaystyle n} (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Własności | edytuj kod

Jeśli X {\displaystyle X} jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f ( x ) , {\displaystyle f(x),} to jej wartość oczekiwana wynosi

E X = +   x f ( x ) d x . {\displaystyle \mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }~xf(x)dx.}

Jeżeli Y = φ ( X ) {\displaystyle Y=\varphi (X)} jest funkcją mierzalną, to

E Y = E ( φ ( X ) ) = R   φ ( x ) f ( x ) d x . {\displaystyle \mathbb {E} Y=\mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\int \limits _{\mathbb {R} }~\varphi (x)f(x)dx.}

Jeśli istnieją E X {\displaystyle \mathbb {E} X} oraz E Y , {\displaystyle \mathbb {E} Y,} to:

  • E c = c , {\displaystyle \mathbb {E} c=c,} gdzie c {\displaystyle c} jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
  • a , b E ( a X + b ) = a E X + b {\displaystyle \forall _{a,b}\;\mathbb {E} (aX+b)=a\mathbb {E} X+b} (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
  • jeżeli X , Y {\displaystyle X,Y} niezależne, to E ( X Y ) = E X E Y , {\displaystyle \mathbb {E} (XY)=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y,}
  • jeżeli X 0 {\displaystyle X\geqslant 0} prawie wszędzie, to E X 0 , {\displaystyle \mathbb {E} X\geqslant 0,}
  • E | X | | E X | . {\displaystyle \mathbb {E} |X|\geqslant |\mathbb {E} X|.}

W mechanice kwantowej | edytuj kod

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową ψ {\displaystyle \psi } wynosi A ^ ψ = ψ ( x ) A ^ ( x , / x ) ψ ( x ) d x , {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}(x,\partial /\partial x)\psi (x)dx,} gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać:

A ^ ψ = ψ | A ^ | ψ . {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .}

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej A ^ , {\displaystyle {\hat {A}},} czyli wariancja A ^ , {\displaystyle {\hat {A}},} wynosi

( Δ A ^ ) 2 = A ^ 2 A ^ 2 . {\displaystyle (\Delta {\hat {A}})^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}.}

Przypisy | edytuj kod

  1. J.J. Jakubowski J.J., R.R. Sztencel R.R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 82 .
  2. J.J. Jakubowski J.J., R.R. Sztencel R.R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 81 .
  3. J.J. Jakubowski J.J., R.R. Sztencel R.R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 85 .

Bibliografia | edytuj kod

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.
Na podstawie artykułu: "Wartość oczekiwana" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy