Wartość własna


Wektory i wartości własne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Wartość własna) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

Spis treści

Definicje | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią liniową nad ciałem K , {\displaystyle K,} zaś T {\displaystyle \mathrm {T} } oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora x {\displaystyle x} przestrzeni spełniony jest warunek

T x = λ x , {\displaystyle \mathrm {T} x=\lambda x,}

gdzie λ {\displaystyle \lambda } jest pewnym skalarem, to x {\displaystyle x} nazywa się wektorem własnym, a λ {\displaystyle \lambda } nazywa się wartością własną przekształcenia T . {\displaystyle \mathrm {T} .}

Danej wartości własnej λ {\displaystyle \lambda } operatora T {\displaystyle \mathrm {T} } odpowiada zbiór

X λ ( T ) = { x X : T x = λ x } , {\displaystyle X_{\lambda }(T)=\{x\in X\colon Tx=\lambda x\},}

który jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X . {\displaystyle X.} Jest ona nazywana podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej λ , {\displaystyle \lambda ,} gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora T . {\displaystyle \mathrm {T} .} Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej λ . {\displaystyle \lambda .}

Często zakłada się, że K {\displaystyle K} jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na X {\displaystyle X} określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że X {\displaystyle X} jest pewną przestrzenią Banacha, a T : X X {\displaystyle \mathrm {T} \colon X\to X} jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Własności | edytuj kod

  • Jeżeli T {\displaystyle \mathrm {T} } jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta X , {\displaystyle X,} to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
  • Jeżeli λ K {\displaystyle \lambda \in K} jest wartością własną operatora T , {\displaystyle \mathrm {T} ,} to | λ | T {\displaystyle |\lambda |\leqslant \|\mathrm {T} \|} (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
  • Liczba λ K {\displaystyle \lambda \in K} jest wartością własną operatora T {\displaystyle \mathrm {T} } wtedy i tylko wtedy, gdy operator T λ = λ I T {\displaystyle \mathrm {T} _{\lambda }=\lambda I-T} nie jest różnowartościowy.
  • Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
  • Jeśli macierz A {\displaystyle \mathbf {A} } potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej V , {\displaystyle V,} to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
  • Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi V , {\displaystyle V,} to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

Przykłady | edytuj kod

Przestrzenie skończenie wymiarowe | edytuj kod

 Osobny artykuł: widmo macierzy.

Przekształcenie liniowe A {\displaystyle \mathrm {A} } skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy A {\displaystyle \mathbf {A} } nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.

Endomorfizmowi A {\displaystyle \mathrm {A} } na skończeniewymiarowej przestrzeni X {\displaystyle X} odpowiada macierz kwadratowa A , {\displaystyle \mathbf {A} ,} a jego wartości własne w A ( λ ) {\displaystyle w_{\mathbf {A} }(\lambda )} pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tej macierzy.

w A ( λ ) = det ( A λ I ) , {\displaystyle w_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} ),}

gdzie I {\displaystyle \mathbf {I} } jest macierzą jednostkową.

Mając wartości własne λ 1 , , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}} można obliczyć odpowiadające im wektory własne x 1 , , x n {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}} rozwiązując równania postaci

( A λ i I ) x i = 0 {\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} )\cdot \mathbf {x} _{i}=0}

ze względu na wektory x i . {\displaystyle \mathbf {x} _{i}.}

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz A {\displaystyle \mathbf {A} } jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.

Równanie całkowe jednorodne Fredholma | edytuj kod

 Osobne artykuły: jądro operatora całkowegorównanie całkowe Fredholma.

Niech X = L 2 ( a , b ) {\displaystyle X=L^{2}(a,b)} będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue’a na przedziale ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} oraz niech K ( s , t ) {\displaystyle K(s,t)} będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

Q = ( a , b ) × ( a , b ) . {\displaystyle Q=(a,b)\times (a,b).}

Można wykazać, że odwzorowanie T : X X , {\displaystyle \mathrm {T} \colon X\to X,} dane wzorem

( T x ) ( s ) = a b K ( s , t ) x ( t ) d t , {\displaystyle (Tx)(s)=\int \limits _{a}^{b}K(s,t)x(t)dt,}

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy K ( s , t ) = K ( t , s ) ¯ , {\displaystyle K(s,t)={\overline {K(t,s)}},} to T {\displaystyle \mathrm {T} } jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
Na podstawie artykułu: "Wartość własna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy