Warunek Lipschitza


Warunek Lipschitza w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Dla funkcji spełniającej warunek Lipschitza istnieje podwójny stożek (biały), którego wierzchołek można przesuwać wzdłuż wykresu funkcji, a wnętrze pozostaje rozłączne z tym wykresem.

Warunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Funkcja f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } spełnia warunek Lipschitza ze stałą L , {\displaystyle L,} gdy dla dowolnych x 1 , x 2 R {\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} } zachodzi nierówność

| f ( x 1 ) f ( x 2 ) | L | x 1 x 2 | . {\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|.}

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Niech ( X , d ) , ( Y , σ ) {\displaystyle (X,d),(Y,\sigma )} będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} spełnia warunek Lipschitza ze stałą L , {\displaystyle L,} gdy dla dowolnych x 1 , x 2 X {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X} zachodzi nierówność

σ ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) L d ( x 1 , x 2 ) . {\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant L\cdot d(x_{1},x_{2}).}

Najmniejszą liczba L {\displaystyle L} dla której powyższa nierówność zachodzi dla wszelkich x 2 X {\displaystyle x_{2}\in X} (o ile istnieje) nazywana jest stałą Lipschitza funkcji f . {\displaystyle f.} Funkcje spełniające warunek Lipschitza ze stałą L < 1 {\displaystyle L<1} nazywane są kontrakcjami.

Podstawowe własności | edytuj kod

  • Niech f : ( a , b ) R {\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} } będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas f {\displaystyle f} spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza L {\displaystyle L} wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez L . {\displaystyle L.}
Dowód. Załóżmy, że f {\displaystyle f} spełnia warunek Lipschitza ze stałą L . {\displaystyle L.} Niech x 0 ( a , b ) . {\displaystyle x_{0}\in (a,b).} Wówczas dla x ( a , b ) , x x 0 : {\displaystyle x\in (a,b),x\neq x_{0}{:}} | f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 | = | f ( x ) f ( x 0 ) | | x x 0 | L . {\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right|={\frac {|f(x)-f(x_{0})|}{|x-x_{0}|}}\leqslant L.} Stąd | f ( x 0 ) | L . {\displaystyle |f'(x_{0})|\leqslant L.} By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że | f ( x ) | L {\displaystyle |f'(x)|\leqslant L} dla wszelkich x ( a , b ) . {\displaystyle x\in (a,b).} Niech x 1 , x 2 ( a , b ) . {\displaystyle x_{1},x_{2}\in (a,b).} Bez straty ogólności, można przyjąć, że x 1 < x 2 . {\displaystyle x_{1}<x_{2}.} Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie c ( x 1 , x 2 ) , {\displaystyle c\in (x_{1},x_{2}),} że f ( x 2 ) f ( x 1 ) = f ( c ) ( x 2 x 1 ) . {\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1}).} Ponieważ | f ( c ) | L , {\displaystyle |f'(c)|\leqslant L,} | f ( x 2 ) f ( x 1 ) | = | f ( c ) | | x 2 x 1 | L | x 2 x 1 | , {\displaystyle |f(x_{2})-f(x_{1})|=|f'(c)|\,|x_{2}-x_{1}|\leqslant L|x_{2}-x_{1}|,} co pokazuje, że f {\displaystyle f} spełnia warunek Lipschitza ze stałą L . {\displaystyle L.} Dowód. Niech f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą L . {\displaystyle L.} Niech x 1 , x 2 R {\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} } oraz niech dany będzie ε > 0. {\displaystyle \varepsilon >0.} Gdy δ = ε / L , {\displaystyle \delta =\varepsilon /L,} to | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | L | x 1 x 2 | L ε / L = ε {\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|\leqslant L\varepsilon /L=\varepsilon } o ile tylko | x 1 x 2 | δ . {\displaystyle |x_{1}-x_{2}|\leqslant \delta .} Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.
  • Niech ( Ω , μ ) {\displaystyle (\Omega ,\mu )} będzie przestrzenią z miarą oraz niech ( f n ) n N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na Ω . {\displaystyle \Omega .} Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji f {\displaystyle f} oraz funkcja g : R R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } spełnia warunek Lipschitza, to ciąg ( g f n ) n N {\displaystyle (g\circ f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest zbieżny według miary do g f . {\displaystyle g\circ f.}

Przykłady | edytuj kod

  • Funkcja f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } dana wzorem
f ( x ) = x 2 + 5 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}} spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = 1. {\displaystyle L=1.} Rzeczywiście, dla x , y R , x y , {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,x\neq y,} zachodzi | f ( x ) f ( y ) | = | x 2 + 5 y 2 + 5 | = | x 2 + 5 y 2 5 x 2 + 5 + y 2 + 5 | | ( | x | + | y | ) ( | x | | y | ) x 2 + y 2 | | x y | . {\displaystyle |f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x^{2}+5}}-{\sqrt {y^{2}+5}}|={\Big |}{\tfrac {x^{2}+5-y^{2}-5}{{\sqrt {x^{2}+5}}+{\sqrt {y^{2}+5}}}}{\Big |}\leqslant {\Big |}{\tfrac {(|x|+|y|)(|x|-|y|)}{{\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}}}{\Big |}\leqslant |x-y|.}
  • Funkcja f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } dana wzorem f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą L = 1. {\displaystyle L=1.}
  • Funkcja f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } dana wzorem f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła.
  • Niech a < b . {\displaystyle a<b.} Funkcja f : a , b R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } dana wzorem f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = 2 | b | , {\displaystyle L=2|b|,} gdy | b | | a | {\displaystyle |b|\leqslant |a|} oraz ze stałą L = 2 | a | , {\displaystyle L=2|a|,} gdy | a | | b | . {\displaystyle |a|\leqslant |b|.}

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Warunek Lipschitza" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy