Warunkowa wartość oczekiwana


Warunkowa wartość oczekiwana w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Warunkowa wartość oczekiwana – podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

Spis treści

Założenia | edytuj kod

Niech ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym P A . {\displaystyle P_{\boldsymbol {A}}.} Niech również X L 1 ( Ω , F , P ) {\displaystyle X\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)} będzie zmienną losową,

gdzie L 1 ( Ω , F , P ) := { X : Ω R : X {\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P):=\{X:\Omega \to \mathbb {R} :X} jest mierzalna   E | X | < + } . {\displaystyle \land \ \mathbb {E} |X|<+\infty \}.}

A F {\displaystyle \mathbf {A} \in {\mathcal {F}}} jest zdarzeniem takim, że P ( A ) > 0. {\displaystyle \mathbf {P} (A)>0.}

Definicje | edytuj kod

  • Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:
E ( X | A ) = Ω X ( ω ) d P A {\displaystyle \mathbb {E} (X|A)=\int \limits _{\Omega }X(\omega )d\mathbb {P} _{A}}

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

E ( X | A ) = 1 P ( A ) A X ( ω ) d P {\displaystyle \mathbb {E} (X|A)={\frac {1}{P(A)}}\int \limits _{A}X(\omega )d\mathbb {P} }
  • Niech G {\displaystyle {\mathcal {G}}} będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała G {\displaystyle {\mathcal {G}}} nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:

1) E ( X | G ) {\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})} jest G {\displaystyle \color {blue}{\mathcal {G}}} -mierzalna,

2) A E ( X | G ) d P = A X d P , {\displaystyle \int \limits _{A}E(X|{\mathcal {G}})d\mathbb {P} =\int \limits _{A}Xd\mathbb {P} ,} dla dowolnego A G . {\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}

Dla dowolnego σ-ciała G F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}} i zmiennej losowej całkowalnej X L 1 ( Ω , F , P ) {\displaystyle X\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)} istnieje E ( X | G ) {\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})} i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.

  • Szczególny przypadek poprzedniego.

Niech Ω = i I A i , {\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}A_{i},} gdzie A i A j = , i j , {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i\neq j,} i niech G = σ ( { A i : i I } ) . {\displaystyle {\mathcal {G}}=\sigma (\{A_{i}:i\in I\}).} Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała G {\displaystyle {\mathcal {G}}} jest równa:

E ( X | G ) = i I E ( X | A i ) 1 A i {\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\sum _{i\in I}\mathbb {E} (X|A_{i})\cdot \color {blue}\mathbf {1} _{A_{i}}}

Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Własności | edytuj kod

Niech X , Y L 1 ( Ω , F , P ) {\displaystyle X,Y\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)} i niech G F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}} będzie σ-ciałem. Wówczas:

  • X Y     E ( X | G ) E ( Y | G ) , {\displaystyle X\leqslant Y\ \Rightarrow \ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\leqslant \mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),}
  • a , b R     E ( a X + b Y | G ) = a E ( X | G ) + b E ( Y | G ) , {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \ \Rightarrow \ \mathbb {E} (aX+bY|{\mathcal {G}})=a\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})+b\mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),}
  • |   E ( X | G )   | E (   | X |   | G ) , {\displaystyle |\ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ |\leqslant \mathbb {E} (\ |X|\ |{\mathcal {G}}),}
  • Dla dowolnego H G {\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {G}}} mamy:
E ( X | H ) = E ( E ( X | H )   |   G ) = E ( E ( X | G )   |   H ) , {\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {G}}{\bigg )}=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {H}}{\bigg )},}
  • X n X         E ( X n | G ) E ( X | G ) , {\displaystyle X_{n}\to X\ \ \Longrightarrow \ \ \mathbb {E} (X_{n}|{\mathcal {G}})\to \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}),}
  • E ( E ( X | G ) ) = E X , {\displaystyle \mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}){\bigg )}=\mathbb {E} X,}
  • Jeśli X {\displaystyle X} jest niezależna od G {\displaystyle {\mathcal {G}}} (tzn. σ ( X ) {\displaystyle (X)} i G {\displaystyle {\mathcal {G}}} są niezależne), to:
E ( X | G ) = E X , {\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\mathbb {E} X,}
  • Jeśli Y {\displaystyle Y} jest ograniczoną zmienną G {\displaystyle {\mathcal {G}}} -mierzalną, to:
E ( Y X | G ) = Y E ( X | G ) . {\displaystyle \mathbb {E} (YX|{\mathcal {G}})=Y\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}).}

Zobacz też | edytuj kod

Literatura | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Warunkowa wartość oczekiwana" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy