Wielościan foremny


Wielościan foremny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wielościan foremny (bryła platońska)wielościan spełniający następujące trzy warunki:

Animacja obrotu dwunastościanu

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Spis treści

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej | edytuj kod

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych | edytuj kod

Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

W + S = K + 2 , {\displaystyle W+S=K+2,}

gdzie W {\displaystyle W} oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, S {\displaystyle S} liczbę jego ścian, a K {\displaystyle K} liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

S n = 2 K . {\displaystyle S\cdot n=2K.}

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi l {\displaystyle l} krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

W l = 2 K . {\displaystyle W\cdot l=2K.}

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności W {\displaystyle W} i S {\displaystyle S}

W = 2 K l ; S = 2 K n {\displaystyle W={\frac {2K}{l}};S={\frac {2K}{n}}}

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

2 K l + 2 K n = K + 2. {\displaystyle {\frac {2K}{l}}+{\frac {2K}{n}}=K+2.}

Przekształcając otrzymamy kolejno

1 l + 1 n = 1 2 + 1 K > 1 2 , {\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{K}}>{\frac {1}{2}},}

oraz

( n 2 ) ( l 2 ) < 4. {\displaystyle (n-2)(l-2)<4.}

Ponieważ l 3 {\displaystyle l\geqslant 3} oraz n 3 , {\displaystyle n\geqslant 3,} przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

Oczywiście znając n , l {\displaystyle n,l} można wyznaczyć W , K , S , {\displaystyle W,K,S,} korzystając ze wzoru Eulera i zależności S n = 2 K {\displaystyle S\cdot n=2K} oraz W l = 2 K . {\displaystyle W\cdot l=2K.}

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie n {\displaystyle n} i l . {\displaystyle l.}

Historia | edytuj kod

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa[2] (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata[3].

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – Saturn[4]. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej | edytuj kod

foremna 5-komórka foremna 8-komórka (oktachoron) foremna 16-komórka foremna 24-komórka

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ).

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Dla dowolnego naturalnego n > 4 {\displaystyle n>4} udowodniono, że w przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne[5]:

Można też rozpatrywać przypadki n < 3. {\displaystyle n<3.} „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego 3 {\displaystyle \ell \geq 3} istnieje {\displaystyle \ell } -kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.

Przypisy | edytuj kod

  1. Niezbędność tego warunku pokazuje przykład bryły zwanej stella octangula.
  2. Teajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych.
  3. Matematyka dla humanistów – Michał Szurek.
  4. W czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.
  5. Mathematical puzzles and diversions – Martin Gardner.
Na podstawie artykułu: "Wielościan foremny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy