Wielokąt foremny


Wielokąt foremny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Kolejne wielokąty foremne

Wielokąt foremnywielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.

Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny – jako kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że n {\displaystyle n} -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n {\displaystyle n} jest liczbą postaci 2 k p 1 p 2 p s , {\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},} gdzie p 1 , p 2 , , p s {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{s}} są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Spis treści

Wzory | edytuj kod

Przyjęte oznaczenia:

n {\displaystyle n} – liczba boków wielokąta foremnego, a {\displaystyle a} – długość jednego boku wielokąta. γ = π ( n 2 ) n r a d = 180 ( n 2 ) n . {\displaystyle \gamma ={\frac {\pi (n-2)}{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}.}
  • Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
β = 2 π n r a d = 360 n . {\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {360^{\circ }}{n}}.} R = a 2 sin π n = a 2 cosec π n . {\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {cosec} {\frac {\pi }{n}}.} r = a 2 tg π n = a 2 ctg π n . {\displaystyle r={\frac {a}{2\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}.}
  • Wzory na długość boku wielokąta foremnego:
a = 2 R 2 r 2 = 2 R sin π n = 2 r tg π n . {\displaystyle {\begin{aligned}a&=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\\&=2R\sin {\frac {\pi }{n}}\\&=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}.\end{aligned}}}
  • Wzór na obwód wielokąta foremnego:
L = n a . {\displaystyle L=n\cdot a.} S = 1 4 n a 2 ctg π n = n a r 2 = n r 2 tg π n = n R 2 sin π n cos π n = 1 2 n R 2 sin 2 π n . {\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}na^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {nar}{2}}\\&=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}\\&=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}.\end{aligned}}} d k = a sin ( k + 1 ) π n sin π n , {\displaystyle d_{k}={\frac {a\sin {\frac {(k+1)\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}},} gdzie k N ,   1 k n 3. {\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ 1\leqslant k\leqslant n-3.}
  • Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)
γ = π n r a d = 180 n . {\displaystyle \gamma ={\frac {\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }}{n}}.}

Tabela wielokątów foremnych | edytuj kod

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Wielokąt foremny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy