Wielokrotność


Wielokrotność w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

Spis treści

Definicje | edytuj kod

  • W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej a , {\displaystyle a,} to każda liczba b {\displaystyle b} postaci b = n a , {\displaystyle b=na,} gdzie n {\displaystyle n} jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej r {\displaystyle r} jako liczby rzeczywiste s {\displaystyle s} postaci s = k r , {\displaystyle s=kr,} gdzie k {\displaystyle k} jest liczbą całkowitą.
  • W teorii podzielności, powiemy że element b {\displaystyle b} pierścienia całkowitego R {\displaystyle R} jest wielokrotnością elementu a {\displaystyle a} tegoż pierścienia, jeśli b = c a {\displaystyle b=ca} dla pewnego c R {\displaystyle c\in R} (zobacz Gleichgewicht[1]). W tym kontekście, jeśli b {\displaystyle b} jest wielokrotnością a {\displaystyle a} (w pierścieniu R {\displaystyle R} ) to mówimy też, że a {\displaystyle a} jest dzielnikiem b . {\displaystyle b.}
  • W teorii grup, wielokrotnościami elementu g {\displaystyle g} w grupie ( G , + ) {\displaystyle (G,+)} nazywamy elementy postaci n g = g + g + + g {\displaystyle n\cdot g=g+g+\ldots +g} ( n {\displaystyle n} składników)[2].

Przykłady | edytuj kod

W matematyce elementarnej | edytuj kod

  • Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20 itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
  • Liczby π ,   2 π ,   3 π ,   4 π {\displaystyle \pi ,\ 2\pi ,\ 3\pi ,\ 4\pi } są całkowitymi wielokrotnościami liczby π . {\displaystyle \pi .} Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami π {\displaystyle \pi } w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych ( R , + , 0 ) . {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,0).}

W teorii pierścieni | edytuj kod

  • 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
  • W pierścieniu C x {\displaystyle \mathbb {C} [x]} wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} jest wielokrotnością wielomianu x + i {\displaystyle x+i} (bowiem x 2 + 1 = ( x + i ) ( x i ) {\displaystyle x^{2}+1=(x+i)(x-i)} ).
  • Jeśli pierścień R {\displaystyle R} jest ciałem oraz a R { 0 } , {\displaystyle a\in R\setminus \{0\},} to wszystkie elementy R {\displaystyle R} są wielokrotnościami a {\displaystyle a} w sensie teorii pierścieni.

W teorii grup | edytuj kod

  • W grupie S3, permutacja ( 1 2 3 1 2 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}} jest wielokrotnością ( 1 2 3 3 2 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}} bowiem
( 1 2 3 3 2 1 ) 2 = ( 1 2 3 3 2 1 ) ( 1 2 3 3 2 1 ) = ( 1 2 3 1 2 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}}

Wspólna wielokrotność | edytuj kod

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} jest to taka liczba z , {\displaystyle z,} która jest wielokrotnością liczby x {\displaystyle x} i jest wielokrotnością liczby y , {\displaystyle y,} to znaczy istnieją takie liczby k , l {\displaystyle k,l} należące do zbioru liczb naturalnych, że z = k x {\displaystyle z=kx} i z = l y . {\displaystyle z=ly.}

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

12 = 4 3 = 6 2 , {\displaystyle 12=4\cdot 3=6\cdot 2,} 24 = 4 6 = 6 4. {\displaystyle 24=4\cdot 6=6\cdot 4.}

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, s. 283. ISBN 83-01-03903-5.
  2. Ibid. Strona 30.
Na podstawie artykułu: "Wielokrotność" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy