Wielomiany Czebyszewa


Wielomiany Czebyszewa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wielomiany Czebyszewaukład wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.

Spis treści

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju | edytuj kod

Definicja rekurencyjna | edytuj kod

T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x} T k ( x ) = 2 x T k 1 ( x ) T k 2 ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)}

Postać jawna | edytuj kod

Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:

T k ( x ) = ( x + x 2 1 ) k + ( x x 2 1 ) k 2 . {\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}}{2}}.}

Parzystość wielomianów Czebyszewa | edytuj kod

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k – nieparzysty:

T k ( x ) = ( 1 ) k T k ( x ) . {\displaystyle T_{k}(-x)=(-1)^{k}T_{k}(x).}

Postać trygonometryczna | edytuj kod

Dla x 1 ; 1 {\displaystyle x\in [-1;1]} podstawiając za x = cos t , {\displaystyle x=\cos \,t,} dla k = 0 , 1 , 2 , {\displaystyle k=0,1,2,\dots }

T k ( cos t ) = ( cos t + cos 2 t 1 ) k + ( cos t cos 2 t 1 ) k 2 = ( cos t + sin 2 t ) k + ( cos t sin 2 t ) k 2 = ( cos t + i sin t ) k + ( cos t i sin t ) k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}T_{k}(\cos \,t)&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+i\cdot \sin \,t)^{k}+(\cos \,t-i\cdot \sin \,t)^{k}}{2}}\end{aligned}}}

gdzie i 2 = 1. {\displaystyle i^{2}=-1.}

Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

T k ( cos t ) = cos k t . {\displaystyle T_{k}(\cos \,t)=\cos kt.}

Wracając do zmiennej x : {\displaystyle x{:}} t = arccos x {\displaystyle t=\arccos x}

T k ( x ) = cos ( k arccos ( x ) ) . {\displaystyle T_{k}(x)=\cos(k\,\arccos(x)).\qquad {}} (*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia przez funkcję trygonometryczną c o s {\displaystyle cos} i jej odwrotność a r c c o s . {\displaystyle arccos.} Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

T k ( x ) = { cos ( k arccos x ) , x 1 , 1 cosh ( k a r c o s h ( x ) ) , x 1 ( 1 ) k cosh ( k a r c o s h ( x ) ) , x 1 {\displaystyle T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&x\in [-1,1]\\[2px]\cosh(k\,\mathrm {arcosh} (x)),&x\geqslant 1\\[2px](-1)^{k}\cosh(k\,\mathrm {arcosh} (-x)),&x\leqslant -1\end{cases}}}

Można wykazać, że

cos ( k t ) = e i k t + e i k t 2 = ( e i t ) k + ( e i t ) k 2 , {\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {e^{ik\,t}+e^{-ik\,t}}{2}}={\frac {(e^{i\,t})^{k}+(e^{i\,t})^{-k}}{2}},}

ponieważ zachodzi

e i t = cos ( t ) + i sin ( t ) {\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+i\sin(t)}

oraz

sin ( t ) = 1 cos 2 ( t ) {\displaystyle \sin(t)={\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}}

zachodzi

e i t = cos ( t ) + cos 2 ( t ) 1 , {\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}},}

a stąd

cos ( k t ) = ( cos ( t ) + cos 2 ( t ) 1 ) k + ( cos ( t ) + cos 2 ( t ) 1 ) k 2 {\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{k}+(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{-k}}{2}}}

podstawiają za cos ( t ) {\displaystyle \cos(t)} x, otrzymuje się

T k ( x ) = ( x + x 2 1 ) k + ( x + x 2 1 ) k 2 . {\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{-k}}{2}}.}

Zera wielomianów Czebyszewa | edytuj kod

 Osobny artykuł: Węzły Czebyszewa.

Wielomian Czebyszewa T k ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)} posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

x j = cos ( 2 j 1 2 k π ) , j = 1 , 2 , , k . {\displaystyle x_{j}=\cos \left({\frac {2j-1}{2k}}\,\pi \right),\quad j=1,2,\dots ,k.}

Ortogonalność | edytuj kod

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni L p 2 1 , 1 {\displaystyle L_{p}^{2}[-1,1]} z funkcją wagową w ( x ) = 1 1 x 2 : {\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{:}}

1 1 T k ( x ) T j ( x ) d x 1 x 2 = { 0 : k j π : k = j = 0 π / 2 : k = j 0 {\displaystyle {}\,\int \limits _{-1}^{1}T_{k}(x)T_{j}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{aligned}&0&&:k\neq j\\&\pi &&:k=j=0\\&\pi /2&&:k=j\neq 0\end{aligned}}\right.}

Dowód | edytuj kod

T k , T j = 1 1 T k ( x ) T j ( x ) 1 x 2 d x = 1 1 cos ( k arccos ( x ) ) cos ( j arccos ( x ) ) 1 x 2 d x . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {T_{k}(x)\cdot T_{j}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\cos(k\cdot \arccos(x))\cdot \cos(j\cdot \arccos(x))}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.}

Zastosujmy podstawienie t = arccos ( x ) . {\displaystyle t=\arccos(x).} Mamy wówczas d t d x = 1 1 x 2 {\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} oraz x = cos ( t ) . {\displaystyle x=\cos(t).} Stosując we wcześniejszym wzorze:

T k , T j = π 0 cos ( k t ) cos ( j t ) 1 c o s 2 ( t ) 1 c o s 2 ( t ) d t = 0 π cos ( k t ) cos ( j t ) d t . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =-\int \limits _{\pi }^{0}{\frac {\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)}{\sqrt {1-cos^{2}(t)}}}{\sqrt {1-cos^{2}(t)}}dt=\int \limits _{0}^{\pi }\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)dt.}

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego cos ( α ) cos ( β ) = 1 2 c o s ( α β ) + cos ( α + β ) {\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]} dostajemy

T k , T j = 0 π 1 2 c o s ( ( k j ) t ) + cos ( ( k + j ) t ) d t = 1 2 0 π cos ( ( k j ) t ) d t + 1 2 0 π cos ( ( k + j ) t ) d t . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt.}

Załóżmy w tym momencie, że k j {\displaystyle k\neq j} i rozpatrzmy obie całki osobno.

0 π cos ( ( k j ) t ) d t = 1 k j 0 ( k j ) π cos ( t ) d t = 1 k j sin ( t ) 0 ( k j ) π = 0. {\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0.}

Analogicznie:

0 π cos ( ( k + j ) t ) d t = 1 k + j 0 ( k + j ) π cos ( t ) d t = 1 k + j sin ( t ) 0 ( k + j ) π = 0. {\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0.}

Zatem:

T k , T j = 0. {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =0.}

Widać, że założenie, iż k j {\displaystyle k\neq j} jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy j = k 0 {\displaystyle j=k\neq 0}

T k , T k = 1 2 0 π c o s ( ( k k ) t ) + cos ( ( k + k ) t ) d t = 1 2 0 π 1 + cos ( 2 k t ) d t = π 2 + 0 π cos ( 2 k t ) d t = π 2 + 1 2 k 0 2 k π cos ( t ) d t = π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle T_{k},T_{k}\rangle &={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt\\&={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt\\&={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}

W przypadku k = j = 0 {\displaystyle k=j=0} dostajemy T 0 , T 0 = π {\displaystyle \langle T_{0},T_{0}\rangle =\pi } co kończy dowód.

Przykłady wielomianów Czebyszewa | edytuj kod

Wielomiany Czebyszewa od T0 do T8

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x} T 2 ( x ) = 2 x 2 1 {\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1} T 3 ( x ) = 4 x 3 3 x {\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x} T 4 ( x ) = 8 x 4 8 x 2 + 1 {\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1} T 5 ( x ) = 16 x 5 20 x 3 + 5 x {\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x} T 6 ( x ) = 32 x 6 48 x 4 + 18 x 2 1 {\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1} T 7 ( x ) = 64 x 7 112 x 5 + 56 x 3 7 x {\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x} T 8 ( x ) = 128 x 8 256 x 6 + 160 x 4 32 x 2 + 1 {\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1} T 9 ( x ) = 256 x 9 576 x 7 + 432 x 5 120 x 3 + 9 x . {\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.}

Własności | edytuj kod

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa 1 2 k 1 T k ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)} ma na odcinku 1 ; 1 {\displaystyle [-1;1]} najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną), spośród wszystkich wielomianów stopnia k, o współczynniku wiodącym równym jeden. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

w k ( x ) = x k + a k 1 x k 1 + + a 1 x + a 0 {\displaystyle w_{k}(x)=x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}

zachodzi nierówność:

max x 1 ; 1 | w k ( x ) | max x 1 ; 1 | 1 2 k 1 T k ( x ) | . {\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|.}

Wiedząc, że dla każdego x 1 ; 1 {\displaystyle x\in [-1;1]} wielomian T k ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)} przyjmuje wszystkie wartości z 1 ; 1 , {\displaystyle [-1;1],} możemy napisać:

max x 1 ; 1 | w k ( x ) | 1 2 k 1 . {\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}.}

Zastosowania | edytuj kod

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów Czebyszewa, leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju | edytuj kod

Definicja rekurencyjna | edytuj kod

T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} T 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle T_{1}(x)=2x} T k ( x ) = 2 x T k 1 ( x ) T k 2 ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)}

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego: ρ ( x ) = 1 x 2 . {\displaystyle \rho (x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (Wielomiany ortogonalne):
Na podstawie artykułu: "Wielomiany Czebyszewa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy