Wielomiany Hermite'a


Wielomiany Hermite’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Wielomiany Hermite'a) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wielomiany Hermite’awielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego

H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) 2 n H n 1 ( x ) , {\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x),}

przy warunkach początkowych

H 0 ( x ) = 1 , {\displaystyle H_{0}(x)=1,} H 1 ( x ) = 2 x . {\displaystyle H_{1}(x)=2x.}

Wielomiany Hermite’a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.

Spis treści

Równoważne definicje | edytuj kod

H n ( x ) = ( 1 ) n e x 2 d n d x n e x 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}} H n ( x ) = 2 n π ( x + i t ) n e t 2 d t {\displaystyle H_{n}(x)={\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+it)^{n}e^{-t^{2}}dt} H n ( x ) = d n d t n e t 2 + 2 x t | t = 0 {\displaystyle H_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}e^{-t^{2}+2xt}{\Bigg |}_{t=0}}

Wykładnicza funkcja tworząca | edytuj kod

Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite’a jest

G ( x , t ) = e t 2 + 2 t x = n = 0 H n ( x ) t n n ! . {\displaystyle G(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}

Innymi słowami – jeśli rozwiniemy

e t 2 + 2 t x {\displaystyle e^{-t^{2}+2tx}}

w szereg Maclaurina względem zmiennej t , {\displaystyle t,} współczynnikiem przy t n n ! {\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}} będzie H n ( x ) . {\displaystyle H_{n}(x).}

Wykresy pierwszych czterech wielomianów | edytuj kod

Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite’a H 0 = 1 {\displaystyle H_{0}=1} H 1 = 2 x {\displaystyle H_{1}=2x} H 2 = 4 x 2 2 {\displaystyle H_{2}=4x^{2}-2} H 3 = 8 x 3 12 x {\displaystyle H_{3}=8x^{3}-12x} H 4 = 16 x 4 48 x 2 + 12 {\displaystyle H_{4}=16x^{4}-48x^{2}+12} H 5 = 32 x 5 160 x 3 + 120 x {\displaystyle H_{5}=32x^{5}-160x^{3}+120x} H 6 = 64 x 6 480 x 4 + 720 x 2 120 {\displaystyle H_{6}=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120} H 7 = 128 x 7 1344 x 5 + 3360 x 3 1680 x . {\displaystyle H_{7}=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x.}

Własności wielomianów Hermite’a | edytuj kod

  • H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} jest wielomianem n {\displaystyle n} -tego stopnia.
  • d H n ( x ) d x = 2 n H n 1 ( x ) , {\displaystyle {\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=2nH_{n-1}(x),}
  • H 2 n ( 0 ) = ( 1 ) n ( 2 n ) ! n ! , {\displaystyle H_{2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}},}
  • H n ( x ) = ( 1 ) n H n ( x ) , {\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),}

czyli dla n {\displaystyle n} parzystego H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} jest funkcją parzystą, a dla n {\displaystyle n} nieparzystego – funkcją nieparzystą.

  • H n ( x ) H m ( x ) e x 2 d x = π 2 n n ! δ n m , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm},}

czyli wielomiany Hermite’a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową e x 2 . {\displaystyle e^{-x^{2}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.
Kontrola autorytatywna (polynomial sequence):
Na podstawie artykułu: "Wielomiany Hermite'a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy