Wielomiany Laguerre'a


Wielomiany Laguerre’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Wielomiany Laguerre'a) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Wykresy pierwszych czterech wielomianów Laguerre’a

Wielomiany Laguerre’awielomiany o współczynnikach rzeczywistych zdefiniowane jako:

L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( x n e x ) . {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}e^{-x}\right).}

Funkcja generująca | edytuj kod

Wielomiany Laguerre’a są współczynnikami przy potęgach z {\displaystyle z} w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji

g ( x , z ) = exp ( z x 1 z ) 1 z . {\displaystyle g(x,z)={\frac {\exp \left(-{\frac {zx}{1-z}}\right)}{1-z}}.}

Zachodzi zależność:

g ( x , z ) = exp ( z x 1 z ) 1 z = n = 0 L n ( x ) z n . {\displaystyle g(x,z)={\frac {\exp \left(-{\frac {zx}{1-z}}\right)}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)z^{n}.}

Własności | edytuj kod

  • L n ( 0 ) = 1 {\displaystyle L_{n}(0)=1}
  • L n ( x ) = e x 2 π i s n e s ( s x ) n + 1 d s {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{2\pi i}}\oint {\frac {s^{n}e^{-s}}{(s-x)^{n+1}}}ds} gdzie całkowanie odbywa się po dowolnym konturze zawierającym x.
  • ( n + 1 ) L n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 x ) L n ( x ) n L n 1 ( x ) {\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}
  • x d L n ( x ) d x = n L n ( x ) n L n 1 ( x ) {\displaystyle x{\frac {dL_{n}(x)}{dx}}=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (polynomial sequence):
Na podstawie artykułu: "Wielomiany Laguerre'a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy