Wielomiany Zernike’a

Wielomiany Zernikego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Wielomiany Zernike’a) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wielomiany Zernikego są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Wielomiany Zernikego zdefiniowane są w postaci zespolonej:

V n ± m ( ρ , θ ) = R n m ( ρ ) exp ⁡ ( ± j m θ ) , {\displaystyle V_{n}^{\pm m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\exp(\pm jm\theta ),}

gdzie:

n , m {\displaystyle n,m} są liczbami naturalnymi takimi, że 0 ⩽ m ⩽ n , {\displaystyle 0\leqslant m\leqslant n,} oraz n − m {\displaystyle n-m} jest parzyste, ρ , θ {\displaystyle \rho ,\theta } są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego). R n m ( ρ ) {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )} jest wielomianem radialnym postaci: R n m ( ρ ) = ∑ s = 0 n − m 2 ( − 1 ) s ( n − s ) ! s ! ( n + m 2 − s ) ! ( n − m 2 − s ) ! ρ n − 2 s . {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{s=0}^{\frac {n-m}{2}}(-1)^{s}{\frac {(n-s)!}{s!({\frac {n+m}{2}}-s)!({\frac {n-m}{2}}-s)!}}\rho ^{n-2s}.}

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernikego w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernikego

Z n m ( ρ , θ ) = R n m ( ρ ) cos ⁡ ( m θ ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\theta )} – wielomian parzysty, Z n − m ( ρ , θ ) = R n m ( ρ ) sin ⁡ ( m θ ) {\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\theta )} – wielomian nieparzysty.

Przykłady | edytuj kod

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernikego:

Własności | edytuj kod

Wielomiany radialne są ortogonalne:

∫ 0 1 ρ R n m ( ρ , θ )   R n ′ m ( ρ , θ )   d ρ = 1 2 ( n + 1 ) δ n n ′ {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\rho R_{n}^{m}(\rho ,\theta )\ R_{n'}^{m}(\rho ,\theta )\ d\rho ={\frac {1}{2(n+1)}}\delta _{nn'}}

gdzie δ n n ′ {\displaystyle \delta _{nn'}} oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernikego:

∬ ρ V n m ( ρ , θ ) ∗   V p q ( ρ , θ )   d ρ d θ = π n + 1 δ n m δ p q {\displaystyle \iint \rho [V_{n}^{m}(\rho ,\theta )]^{*}\ V_{p}^{q}(\rho ,\theta )\ d\rho d\theta ={\frac {\pi }{n+1}}\delta _{nm}\delta _{pq}}

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

V n m ( ρ , θ + α ) = V n m ( ρ , θ ) exp ⁡ ( j m α ) {\displaystyle V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )=V_{n}^{m}(\rho ,\theta )\exp(jm\alpha )}

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

| V n m ( ρ , θ + α ) | = | V n m ( ρ , θ ) | . {\displaystyle |V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )|=|V_{n}^{m}(\rho ,\theta )|.}

Sprzężenie wielomianu Zernikego ma wartość:

( V n m ( ρ , θ ) ) ∗ = V n − m ( ρ , θ ) {\displaystyle (V_{n}^{m}(\rho ,\theta ))^{*}=V_{n}^{-m}(\rho ,\theta )}

Zastosowanie | edytuj kod

W optyce, wielomiany Zernikego stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernikego znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernikego.

Zobacz też | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Wielomiany Zernike’a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy