Wikipedysta:Klapi/algebra


Wikipedysta:Klapi/algebra w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii < Wikipedysta:Klapi Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa jest zbiorem z kilkoma specjalnymi właściwościami. Grupy są użyteczne przy studiowaniu wielu innych obszarów matematyki.

Wiele zbiorów, które napotykamy w matematyce będzie posiadało pewien rodzaj struktury kiedy dobierzemy do nich działanie. Dla przykładu, liczby całkowite mają wiele właściwości kiedy przyporządkujemy im mnożenie lub dodawanie.

Teoria grup zajmuje się grupami, ich strukturą oraz właściwościami.

Spis treści

Definicje i notacje | edytuj kod

Grupa jest zbiorem, powiedzmy G {\displaystyle G} oraz działania dwójkowego które oznaczamy {\displaystyle *} . Mówimy, że ( G , ) {\displaystyle (G,*)} jest grupą wtedy i tylko wtedy gdy posiada następujące własności:

  • zamknięcie na działanie {\displaystyle *} : Jeżeli a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} należą do G {\displaystyle G} to a b {\displaystyle a*b} również należy do G {\displaystyle G} . To oznacza, że jeżeli mamy dwa elementy z G {\displaystyle G} oraz a b {\displaystyle a*b} jest poza G {\displaystyle G} , G {\displaystyle G} nie może być grupą.
  • łączność {\displaystyle *} : Jeżeli a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} należą do G {\displaystyle G} , ( a b ) c = a ( b c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} , zupełnie jak dodawanie i mnożenie, jednak nie odejmowanie .
  • istnieje element neutralny: Istnieje taki element należący do G {\displaystyle G} , który oznaczamy e {\displaystyle e} , że dla każdego a {\displaystyle a} należącego do G {\displaystyle G} , e a = a e = a {\displaystyle e*a=a*e=a} . Element e {\displaystyle e} nazywamy elementem neutralnym, który czasami oznaczamy również jako I {\displaystyle I} , 1 {\displaystyle 1} lub E {\displaystyle E} .
  • istnieje element przeciwny: Dla każdego a {\displaystyle a} należącego do G {\displaystyle G} istnieje taki element q {\displaystyle q} należący do G {\displaystyle G} , że q a = a q = e {\displaystyle q*a=a*q=e} . Zazwyczaj zapisujemy q {\displaystyle q} jako a 1 {\displaystyle a^{-1}} .

Dowolny zbiór z operatorem dwójkowym, który spełnia powyższe cztery własności to grupa. Technicznie, grupa to zbiór i działanie, która może być zapisana jako uporządkowana para ( G , ) {\displaystyle (G,*)} , chociaż powszechną praktyką jest mówienie o grupie jako o zbiorze G {\displaystyle G} . Jednak ważne jest ten sam zbiór może tworzyć różne grupy w parze z różnymi działaniami

Terminologia | edytuj kod

Grupę nazywamy addytywną jeżeli jej działanie to dodawanie. W tym przypadku standardowo oznaczamy operator jako + {\displaystyle +} , element neutralny jako 0 {\displaystyle 0} , a także element przeciwny do a {\displaystyle a} w G {\displaystyle G} jako a {\displaystyle -a} . Grupę nazywamy multiplikatywną jeżeli jej działanie to rodzaj mnożenia. W tym przypadku często używamy {\displaystyle *} lub kropki do oznaczenie działania i zapisu: a b {\displaystyle a*b} jako a b {\displaystyle ab} dla zwięzłości. Często oznaczamy element neutralny jako e {\displaystyle e} lub 1 {\displaystyle 1} oraz element przeciwny do a {\displaystyle a} w G {\displaystyle G} jako a 1 {\displaystyle a^{-1}} .

Należy zwrócić uwagę, że powyższe aksjomaty nie zakładają przemienności (co oznacza, że dla dowolnych x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} , mamy: x y = y x {\displaystyle x*y=y*x} ), właściwości naturalnej dla obliczeń algebraicznych na liczbach rzeczywistych. Ta właściwość jest zachowana w niektórych grupach, ale w innych nie; jeżeli jest zachowana to nazywamy tę grupę abelową na cześć matematyka Nielsa Abela. Zwykło się określać grupę jako addytywną kiedy jest to grupa abelowa (z tego względu, że istnieje wiele przykładów nieprzemiennego mnożenia jak np. mnożenie macierzy, a nie ma nieprzemiennego dodawania).

Liczbę elementów zbioru G {\displaystyle G} (czyli liczbę kardynalną G {\displaystyle G} )nazywamy rzędem grupy i oznaczamy | G | {\displaystyle |G|} (także O ( G ) {\displaystyle O(G)} lub nawet # G {\displaystyle \#G} , mimo, że użyjemy | G | {\displaystyle |G|} ). Grupy mogą mieć rząd skończony lub nieskończony i nazywamy je odpowiednio grupą skończoną i nieskończoną.

Przykłady | edytuj kod

Spójrzmy na niektóre proste grupy skończone aby zobaczyć jak przebiega sprawdzanie definicji i następnie sprawdzić przypadki niektórych grup nieskończonych.

(Z2,+) | edytuj kod

Z2 (tabelka grupy) jest zbiorem reszt z dzielenia liczb całkowitych przez 2. Istnieją tylko dwie reszty: 0 i 1 więc Z2 posiada tylko dwa elementy {0,1}. Oznaczmy działanie dodawania modulo 2, "+". Czy (Z2,+) to grupa?

Sprawdźmy wymagania definicji:

  • zamknięcie na + {\displaystyle +} : Zweryfikowane przez szybki sprawdzenie; 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 - grupa zamknięta na +
  • łączność: a+(b+c)=(a+b)+c (dowód przez pokazanie przypadków jest prosty)
  • element neutralny: 0+0=0, 1+0=1, 0+1=1 więc 0 jest elementem neutralnym
  • element przeciwny: 1+1=0 więc 1 jest elementem przeciwnym do 1, 0+0=0 więc 0 jest elementem przeciwnym do 0; wszystkie elementy odwracalne.

Zatem (Z2,+) jest grupą. Każdy element posiada element przeciwny, a elementem neutralnym jest 0.

(Z5*,×) | edytuj kod

In Z5*, (group table) which means Z5 without zero, we have {1,2,3,4}. Coincidentally, these are the elements of Z5 with multiplicative inverses (see Number theory). Take × to be multiplication modulo 5.

Again, let us go through the requirements:

  • zamknięcie na {\displaystyle *} : Can be verified quickly by inspection; e.g. 3×4=12=2 modulo 5
  • łączność: a×(b×c)=(a×bc (a proof by cases is not difficult)
  • element neutralny: 1×1=1, 1×2=2, 1×3=3, 1×4=4, so 1 is the identity element
  • element przeciwny: 1×1=1, so 1 is the inverse of 1, 2×3=6=1 modulo 5, so 2 and 3 are inverses of each other, and 4*4=16=1 modulo 5, so 4 is its own inverse; inverses exist.

(Z5*,×) is a group.

(Z, +) | edytuj kod

The integers form a group with the operation of addition +. Again, to show this, we must simply check that the four group axioms above, are satisfied.

  • zamknięcie na {\displaystyle *} : If a and b are integers, then a+b is an integer; this is true by definition.
  • łączność: If a, b and c are integers, then (a+b)+c=a+(b+c). We know this from normal addition.
  • element neutralny: 0 is the identity, for 0+a=a+0=a for a an integer
  • element przeciwny: a has inverse -a, for -a+a=a+-a=0 for a an integer.

So (Z,+) is a group.

(Q, ×) | edytuj kod

Q is the set of all rational numbers; that is numbers that can be formed as the ratio of two integers, a / b {\displaystyle a/b} .

(Q, ×) is not a group. The closure, associative and identity axioms hold, but since 0 ∈ Q, the inverse of 0 would have to be 1/0 which has no meaning; 0 does not have an inverse, so (Q, ×) is not a group. If we instead take Q and remove 0, we do get a group.

However it is a kind of object known as a monoid, which is basically a "group without inverses". There are several other types of objects like this (e.g. "groupoids" and "semigroups",) obeying some of the group properties but not others. We won't cover them in this section, though.

Permutacje | edytuj kod

Groups can be more than just abstractions of numbers. Let us consider permutations: a permutation is a rearrangement of some symbols, so that these symbols are in a different order. So, for example, a permutation of (a, b, c) could be (b, c, a). We've rearranged (a, b, c) so a is last. For the moment, let's write a permutation of (a, b, c) by using an arrow, so the above permutation can be written as (a, b, c) → (b, c, a). We could even give this permutation a name, so, we could say that (a, b, c) → (b, c, a) is a permutation p.

The set of permutations with three elements forms a group. Let * mean "followed by", so if we call x the permutation (a,b,c) → (b,c,a) and y, the permutation (a,b,c) → (c,b,a), then x * y = (a,b,c) → (a,c,b).

  • zamknięcie na {\displaystyle *} : All rearrangements of three symbols are also rearrangements; something like (a,b,c) → (a,a,b) can not happen.
  • łączność: This can be verified by inspection.
  • element neutralny: (a,b,c) → (a,b,c).
  • element przeciwny: This can be verified by inspection. If we permute something, we can obviously undo what we did to get what we started with. If we flip the first two elements around, we can just flip them again to undo what we did.

The group of all permutations on n objects, ie., {1,...,n}, is an important group. It is called the symmetric group and is written Sn, and has order n! (n factorial). We can extend this to permutations of any set S - in this case we write Sym(S).

Podgrupy | edytuj kod

With other concepts in mathematics, there is often a structure like a Russian doll. If we open the doll, there is often an identical but smaller doll inside. If we open that doll, there's another smaller doll inside, and so on.

This sort of Russian-doll-like behaviour pervades things like vector spaces, fields, and so on. Inside some vector space could be another smaller vector space, and so on. We have this same property occurring with groups. Inside groups could be other, smaller groups.

Definicja | edytuj kod

A subgroup is a subset of a group which is also a group. To prove that a group is a subgroup, we need to only check for

  • zamknięcie na {\displaystyle *}
  • element neutralny existence
  • inverse existence

We do not need to check for associativity because this is "given" to us by the larger group.

It's clear that a set containing only the identity (ie, (e, *) for any operation *) will always be a subgroup. In the above example with Z2, ({0}, +) is a subgroup. The subgroup containing just the identity is known as the trivial subgroup.

For example, the even numbers under addition form a subgroup of the integers under addition. But, the odd numbers do not (since 1+1=2, which is not odd, so closure is violated, and 0 is not odd, so they have no identity).

Zadania | edytuj kod

Given the above rules, answer the following (Answers follow to even-numbered questions).

  1. Is Z2 a subgroup of Z under addition?
  2. Is (Z2, ×) a group? (× representing multiplication modulo 2). What about (Z2*, ×)?
  3. Identify all subgroups of Z3
  4. Identify one subgroup of (Z, +)
  5. Prove that permutations of three elements are associative and have inverses. (Hint: write out all valid permutations)
  6. Find a nontrivial subgroup of the permutations of three elements.
  7. Is Z2 a subgroup of Z5 with addition modulo 5?
  8. Let S be a subset of the group G. We define the set generated by S, denoted <S>, to be the set of all finite products x0x1x2...xn with either xi or xi-1 ∈ S for each i, 0<i>n. Show that <S> is a subgroup of G.

    Terminology and the "syntax" of formula can be confusing. Try converting the following group formulas from "additive" notation into "multiplictive" notation. Assume a,b,c∈G, but do not assume the group is abelian even though we are using the additive notation!
  9. a + b - c
  10. 2b + c
  11. a + b - a
  12. a - a = 0
  13. if a + b = 0, then b = -a

    Now try converting these "multiplicitive" formula in "function composition" syntax. Ideally you can translate into both a ° b or a(b(x)) from ab.
  14. a × b × c-1 = 1
  15. aba-1 ∈ H
Odpowiedzi | edytuj kod
2. Z2 is not, because 0 has no multiplicative inverse. Z2* is. 4. The even integers are a subgroup of (Z, +) 6. {(a,b,c)→(a,b,c), (a,b,c)→(c,b,a)} 8. We need to check three properties to ensure that H=<S> is a subgroup.
  • Closure: Since the elements in H are finite sequences of elements of S or their inverses multiplied by each other, for two elements of H, we can take the two sequences of S and concatenate them to get another sequence of elements in S, which yields another element of H.
  • Identity: Since for any element x in S, both x and x-1 are in H, by closure, so is x * x-1 = 1, the identity.
  • Inverses: This is given in the definition of H.
Then H is a subgroup of G. 10. b2 × c   or   b2c 12. a × a-1 = 1   or  aa-1 = 1  or even   a ÷ a = 1. Notice how the "identity" element changed names. 14. a ° b ° c-1 = I, where I is the identity function I(x) &equiv x, for all x.   or
     a(b(c-1(x))) = x
Na podstawie artykułu: "Wikipedysta:Klapi/algebra" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy