Wikipedysta:Kskowron/analiza


Wikipedysta:Kskowron/analiza w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii < Wikipedysta:Kskowron Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

5 | edytuj kod

Żeby dystrybucja była regularna na pewno funkcja musi być lokalnie całkowalna (ta jest). Żeby należała do S {\displaystyle {\mathcal {S^{\prime }}}} musi dodatkowo (ona i jej pochodne) w nieskończoności maleć szybciej niż każdy wielomian[1] (ta dązy do 0).. Czy coś jeszcze? Nie wiem.

Liczymy całkę + e i k x ( x 2 + 1 ) 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{ikx}}{(x^{2}+1)^{2}}}dx} [2]

Dla k>0 całka po górnym półkolu ( z = R e i ϕ {\displaystyle z=Re^{i\phi }} ) dąży do 0 przy R + {\displaystyle R\rightarrow +\infty } .

| e i k z ( z 2 + 1 ) 2 d z | = | 0 π e i k R e i ϕ i R e i ϕ ( R 2 e 2 i ϕ + 1 ) 2 d ϕ | 0 π R e k R sin ϕ | R 2 e 2 i ϕ + 1 | 2 d ϕ {\displaystyle \left|\int {\frac {e^{ikz}}{(z^{2}+1)^{2}}}dz\right|=\left|\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{ikRe^{i\phi }}iRe^{i\phi }}{(R^{2}e^{2i\phi }+1)^{2}}}d\phi \right|\leq \int _{0}^{\pi }{\frac {Re^{-kR\sin \phi }}{|R^{2}e^{2i\phi }+1|^{2}}}d\phi \leq \ldots }

Teraz oszacowanie | a + b | | | a | | b | | {\displaystyle |a+b|\geq ||a|-|b||} dla mianownika

0 π R e k R sin ϕ ( R 2 1 ) 2 d ϕ R ( R 2 1 ) 2 π e k R 0 {\displaystyle \ldots \leq \int _{0}^{\pi }{\frac {Re^{-kR\sin \phi }}{(R^{2}-1)^{2}}}d\phi \leq {\frac {R}{(R^{2}-1)^{2}}}\pi e^{-kR}\rightarrow 0}

Chyba analogicznie pójdzie dla k<0, tyle że po półkolu z = R e i ϕ {\displaystyle z=Re^{-i\phi }}

Czyli dla k>0 wartośc całki to residuum w punkcie i, a dla k<0 minus residuum w -i.

Bieguny są drugiego rzędu, więc:

R e s z = i = 1 1 ! lim z i d d z ( e i k z ( z 2 + 1 ) 2 ( z i ) 2 ) = = 1 4 i e k ( k + 1 ) {\displaystyle Res_{z=i}={\frac {1}{1!}}\lim _{z\rightarrow i}{\frac {d}{dz}}\left({\frac {e^{ikz}}{(z^{2}+1)^{2}}}(z-i)^{2}\right)=\ldots ={\frac {1}{4i}}e^{-k}(k+1)}

Czyli mam dla k>0: + e i k x ( x 2 + 1 ) 2 d x = 2 π i R e s z = i = π 2 e k ( k + 1 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{ikx}}{(x^{2}+1)^{2}}}dx=2\pi iRes_{z=i}={\frac {\pi }{2}}e^{-k}(k+1)}

W szczególnym przypadku k=1: + cos x ( x 2 + 1 ) 2 d x = π e {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\cos {x}}{(x^{2}+1)^{2}}}dx={\frac {\pi }{e}}}

Przypisy | edytuj kod

  1. Tego nie jestem pewien i nie mogłem znaleźć w notatkach, może ty mi powiesz?
  2. Na wykładzie chyba transformatę mieliśmy z przeciwnym znakiem w e i k x {\displaystyle e^{ikx}} i jeszcze ze współczynnikiem, ale to jest tylko kwestia umowy. Liczyć się będzie tak samo.
Na podstawie artykułu: "Wikipedysta:Kskowron/analiza" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy