Wikipedysta:MatFizka/brudnopis


Wikipedysta:MatFizka/brudnopis w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii < Wikipedysta:MatFizka Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dowód Brianchona | edytuj kod

Ponieważ twierdzenie dotyczy geometrii rzutowej, przypadki sześciokątów opisanych na innych niż okrąg krzywych stożkowych można sprowadzić rzutowo do przypadku z okręgiem. Pozostaje udowodnić ten przypadek.

Rys. 1. - Czerwone i zielone odcinki mają odpowiednio te same długości.

Przedłużamy boki sześciokąta jak na rys. 1.

Weźmy dowolny okrąg styczny do l D E {\displaystyle l_{DE}} i l A B . {\displaystyle l_{AB}.}

Oznaczmy punkty styczności przez K , L , {\displaystyle K,L,} zaś przecięcie prostych przez S . {\displaystyle S.}

Niech K ,   L {\displaystyle K',\ L'} będą punktami styczności boków D E ,   A B {\displaystyle DE,\ AB} sześciokąta z okręgiem wpisanym.

S K = S L {\displaystyle SK=SL} oraz S K = S L , {\displaystyle SK'=SL',} bo są to styczne poprowadzone parami z tego samego punktu do tego samego okręgu.

Stąd K K = L L . {\displaystyle KK'=LL'.}

Zatem możemy skonstruować taki okrąg styczny do l C D {\displaystyle l_{CD}} i l F A {\displaystyle l_{FA}} w punktach M ,   N , {\displaystyle M,\ N,} że M M = N N = K K = L L . {\displaystyle MM'=NN'=KK'=LL'.}

Ponieważ D N = D L {\displaystyle DN'=DL'} oraz A K = A M , {\displaystyle AK'=AM',} to L D = D N {\displaystyle LD=DN} (czerwone na rysunku) oraz K A = A M {\displaystyle KA=AM} (zielone).

Rys. 2. - Niebieskie odcinki mają równe długości. Każda przekątna jest prostą potęgową tych dwóch z kolorowych okręgów, które są innego koloru niż ona.

Zatem l A D {\displaystyle l_{AD}} jest prostą potęgową dwóch okręgów.

Podobnie pokazujemy, że pozostałe przekątne sześciokąta są prostymi potęgowymi odpowiednich okręgów (rys. 2). Dla trzech okręgów proste potęgowe par okręgów są współpękowe, więc teza twierdzenia została udowodniona.

Na podstawie artykułu: "Wikipedysta:MatFizka/brudnopis" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy