Wnętrze (matematyka)


Wnętrze (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Punkt W {\displaystyle W} jest punktem wewnętrznym figury

Wnętrze zbioru (figury, bryły) F {\displaystyle F} – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F {\displaystyle F} wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru F {\displaystyle F} oznaczamy int ( F ) , {\displaystyle \operatorname {int} (F),} Int ( F ) {\displaystyle \operatorname {Int} (F)} lub F . {\displaystyle F^{\circ }.} Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Spis treści

Własności | edytuj kod

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

  1. Wnętrze zbioru F {\displaystyle F} jest otwartym podzbiorem F . {\displaystyle F.}
  2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów F . {\displaystyle F.}
  3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w F . {\displaystyle F.}
  4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
  5. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: int ( int ( S ) ) = int ( S ) . {\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} (S))=\operatorname {int} (S).}
  6. Jeżeli S {\displaystyle S} jest podzbiorem F , {\displaystyle F,} to int ( S ) {\displaystyle \operatorname {int} (S)} jest podzbiorem int ( F ) : S F int ( S ) int ( F ) . {\displaystyle \operatorname {int} (F):S\subset F\Rightarrow \operatorname {int} (S)\subseteq \operatorname {int} (F).}
  7. Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: int ( S F ) = int ( S ) int ( F ) . {\displaystyle \operatorname {int} (S\cap F)=\operatorname {int} (S)\cap \operatorname {int} (F).}
  8. Jeżeli S {\displaystyle S} jest zbiorem otwartym, to S {\displaystyle S} jest podzbiorem F {\displaystyle F} wtedy i tylko wtedy, gdy S {\displaystyle S} jest podzbiorem int ( F ) . {\displaystyle \operatorname {int} (F).}

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt p {\displaystyle p} zbioru F {\displaystyle F} jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie p {\displaystyle p} całkowicie zawarta w zbiorze F . {\displaystyle F.}

Pozostałe własności | edytuj kod

  1. int A int B int ( A B ) {\displaystyle \operatorname {int} \;A\cup \operatorname {int} \;B\subset \operatorname {int} \;(A\cup B)} dla dowolnych zbiorów A X ,   B X {\displaystyle A\subset X,\ B\subset X}
  2. s S int A s int ( s S A s ) {\displaystyle \bigcup _{s\in S}\operatorname {int} \;A_{s}\subset \operatorname {int} \;\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)} dla dowolnej rodziny zbiorów { A s X : s S } {\displaystyle \{A_{s}\subset X:s\in S\}}
  3. Dla każdego A X {\displaystyle A\subset X} mamy
    int A = X cl ( X A ) {\displaystyle \operatorname {int} \;A=X\setminus \operatorname {cl} \;(X\setminus A)}
  4. A X int A int cl ( A ) {\displaystyle A\subset X\Rightarrow \operatorname {int} \;A\subset \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;(A)}
    przykład:
    int Q = int cl ( Q ) = R {\displaystyle \operatorname {int} \;\mathbb {Q} =\varnothing \subset \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;(\mathbb {Q} )=\mathbb {R} }

Operacja wnętrza a topologia | edytuj kod

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int ( X ) = X , {\displaystyle \operatorname {int} (X)=X,} gdzie X {\displaystyle X} oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze X {\displaystyle X} [1].

Przykłady | edytuj kod

  • W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
  • W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
  • Niech R {\displaystyle R} oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
    • wnętrzem przedziału domkniętego a , b {\displaystyle [a,b]} jest przedział otwarty ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
    • wnętrzem przedziału a , b ) {\displaystyle [a,b)} jest przedział ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
    • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
    • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 37.
Na podstawie artykułu: "Wnętrze (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy