Wymiar (matematyka)


Wymiar (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii To jest najnowsza wersja przejrzana, która została oznaczona 8 sty 2019. Od tego czasu wykonano 2 zmiany, które oczekują na przejrzenie. Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wymiar – minimalna liczba niezależnych parametrów potrzebnych do opisania jakiegoś zbioru. Zatem jest to liczba przypisana zbiorowi lub przestrzeni w taki sposób, by punkt miał w.=0, prosta w.=1, płaszczyzna w.=2 itd.

Spis treści

Wstęp | edytuj kod

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń – trójwymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza się dla przestrzeni euklidesowych.

Wymiar przestrzeni liniowej | edytuj kod

W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} wynosi n ; {\displaystyle n;} w przestrzeni dwuwymiarowej do określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np. p := ( 20 , 30 ) ; {\displaystyle p:=(20,30);} w układzie trójwymiarowym – trzy współrzędne, np. p := ( 20 , 30 , 45 ) . {\displaystyle p:=(20,30,45).}

Ponieważ przestrzeń R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można na co dzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych zachodzi naturalne utożsamienie:

C n = R 2 n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2\cdot n}}

Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym n , {\displaystyle n,} ma wymiar rzeczywisty 2 n . {\displaystyle 2\cdot n.} Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).

Wymiar przestrzeni Hilberta | edytuj kod

Występująca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, więc stosuje się do niej ogólne pojęcie wymiaru przestrzeni liniowej (zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontekście przestrzeni Hilberta nigdy się nie używa. W analizie funkcjonalnej wszystkie najważniejsze nieskończenie wymiarowe przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Więc taki wymiar jest w ich przypadku na ogół bez znaczenia.

Gdy w matematyce mówimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na myśli najmniejszą moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopadłych elementów tej przestrzeni. Na przykład wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest albo skończony albo 0 . {\displaystyle \aleph _{0}.}

Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest skończony, pokrywa się z wymiarem w sensie algebry liniowej; gdy jest równy 0 , {\displaystyle \aleph _{0},} to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.

Zobacz: przestrzeń Hilberta

Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia) | edytuj kod

Definicja | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią regularną. Mały wymiar indukcyjny przestrzeni X {\displaystyle X} oznaczany symbolem i n d X . {\displaystyle \mathrm {ind} X.} Mały wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1 lub nieskończonością. Określa się go za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(MU1)  i n d X = 1 X = {\displaystyle \mathrm {ind} X=-1\iff X=\varnothing }

(MU2)  i n d X n {\displaystyle \mathrm {ind} X\leqslant n}   (dla  n 0 {\displaystyle n\geqslant 0} ),  jeśli dla każdego punktu x X {\displaystyle x\in X} oraz jego dowolnego otoczenia V X {\displaystyle V\subseteq X} istnieje zbiór otwarty U X {\displaystyle U\subseteq X} taki, że x U V {\displaystyle x\in U\subseteq V}  oraz  i n d U n 1 {\displaystyle \mathrm {ind} \,\partial U\leqslant n-1}

(MU3)  i n d X = n , {\displaystyle \mathrm {ind} X=n,}  gdy i n d X n {\displaystyle \mathrm {ind} X\leqslant n} oraz nie zachodzi i n d X n 1 {\displaystyle \mathrm {ind} X\leqslant n-1}

(MU4) i n d X = , {\displaystyle \mathrm {ind} X=\infty ,} gdy dla żadnego  n = 1 , 0 , 1 , {\displaystyle n=-1,0,1,\dots }  nie jest prawdą, że i n d X n . {\displaystyle \mathrm {ind} X\leqslant n.}

Uwaga  Od zbioru U {\displaystyle U} można w warunku (MU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze V {\displaystyle V} (definicja pozostanie równoważna).

Historia | edytuj kod

Mały wymiar indukcyjny został zdefiniowany niezależnie przez Pawła Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.

Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia) | edytuj kod

Otrzymuje się go przez zastąpienie w definicji małego wymiaru indukcyjnego punktu przez zbiór domknięty:

Definicja | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią normalną. Duży wymiar indukcyjny przestrzeni X {\displaystyle X} oznaczany symbolem I n d X {\displaystyle \mathrm {Ind} X} Duży wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1 lub nieskończonością. Określony jest za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(DU1)  I n d X = 1 X = {\displaystyle \mathrm {Ind} X=-1\iff X=\varnothing }

(DU2)  I n d X n {\displaystyle \mathrm {Ind} X\leqslant n}   (dla  n 0 {\displaystyle n\geqslant 0} ),  jeśli dla każdego zbioru domkniętego F X {\displaystyle F\subseteq X} oraz jego dowolnego otoczenia V X {\displaystyle V\subseteq X} istnieje zbiór otwarty U X {\displaystyle U\subseteq X} taki, że  F U V {\displaystyle F\subseteq U\subseteq V}  oraz  I n d U n 1. {\displaystyle \mathrm {Ind} \,\partial U\leqslant n-1.}

(DU3)  I n d X = n , {\displaystyle \mathrm {Ind} X=n,}  gdy I n d X n {\displaystyle \mathrm {Ind} X\leqslant n} oraz nie zachodzi I n d X n 1 {\displaystyle \mathrm {Ind} X\leqslant n-1}

(DU4)  I n d X = , {\displaystyle \mathrm {Ind} X=\infty ,} gdy dla żadnego  n = 1 , 0 , 1 , {\displaystyle n=-1,0,1,\dots }  nie jest prawdą, że I n d X n . {\displaystyle \mathrm {Ind} X\leqslant n.}

Uwaga Od zbioru U {\displaystyle U} można w warunku (DU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze V . {\displaystyle V.}

Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue’a (topologia) | edytuj kod

Dowolnej przestrzeni normalnej X {\displaystyle X} można przypisać wymiar pokryciowy Čecha-Lebegue’a, który będziemy oznaczać dim X . {\displaystyle \dim X.} Wymiar dim X {\displaystyle \dim X} jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż -1 lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:

(CL1)
dim X n , {\displaystyle \dim X\leqslant n,} jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni X {\displaystyle X} można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde n + 2 {\displaystyle n+2} zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.
(CL2)
dim X = n , {\displaystyle \dim X=n,} jeśli dim X n , {\displaystyle \dim X\leqslant n,} ale nieprawda, że dim X n 1. {\displaystyle \dim X\leqslant n-1.}
(CL3)
dim X n {\displaystyle \dim X\leqslant n} jest nieskończony, jeśli dla żadnej liczby n {\displaystyle n} nie zachodzi warunek (CL1).

Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe mają charakter porządkujący.

Historia pojęcia | edytuj kod

Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue’a własności kostki n-wymiarowej.

Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze n {\displaystyle n} ), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.

Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że dowolnie wybrane cztery prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby żadna z trójek prostokątów nie miała części wspólnej.

Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie stertę cegieł) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale musi istnieć taka czwórka prostopadłościanów, która ma niepuste przecięcie (w wyobrażonym obrazie sterty cegieł – każda cegła musi mieć punkt w którym styka się z trzema innymi cegłami).

Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć kostkami odpowiedniego wymiaru („cegiełkami”), ale dla pokryć dowolnymi zbiorami otwartymi. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Čecha-Lebesgue’a.

Wymiar rozmaitości topologicznej | edytuj kod

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} Wtedy n {\displaystyle n} jest wymiarem topologicznym rozmaitości.

Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa | edytuj kod

Istnieje więcej niż jedno pojęcie „wymiaru fraktalnego”. Najczęściej oznacza wymiar Hausdorffa. Stosowane są też inne definicje. Do najważniejszych można zaliczyć wymiar pudełkowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).

Równoważność definicji wymiaru | edytuj kod

Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru trzy klasyczne definicje wymiaru: i n d , I n d , dim , {\displaystyle \mathrm {ind} ,\mathrm {Ind} ,\dim ,} są równoważne dla wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych. Ponadto dim {\displaystyle \dim } oraz I n d {\displaystyle \mathrm {Ind} } są równoważne dla przestrzeni metrycznych, podczas gdy i n d , I n d {\displaystyle \mathrm {ind} ,\mathrm {Ind} } są równoważne dla przestrzeni zwartych. Przykłady pokazują, że ogólnie trzy klasyczne funkcje wymiaru są różne.

Przykłady:

Płaszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrzeń liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest płaszczyzną, zatem mały i duży wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa (względem zwykłej metryki euklidesowej) płaszczyzny zespolonej jest równy 2. Wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego jest równy 1 (zbiór daje się rozciąć pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosi

log 3 log 2 1 , 58. {\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1{,}58.}


Bibliografia | edytuj kod

  • Ryszard Engelking Teoria wymiaru, Warszawa 1981; Roman Duda O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.
Na podstawie artykułu: "Wymiar (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy